[HDU2879]HeHe

题目

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思路

乱推式子，然后瞎猜。首先推成

$x(x-1)\equiv 0\pmod n$

然后发现 $x$ 和 $x-1$ 互质，所以不难想到， $n$ 的所有质因数是恰属于其中一个的。

——举例，若 $2^3|n$ ，则 $2^3|x$ 且 $x-1$ 为奇数或者 $2^3|(x-1)$ 且 $x$ 为奇数。

如何枚举？显然二者互补，且互质。于是就是满足如下条件的 $\langle p,q\rangle$ 的数量：

$pq=n,\;\gcd(p,q)=1$

然后这时候我们认为

$x=k_1p,\;x-1=k_2q$

如何构造？明显是式子

$k_1p-k_2q=1$

此时考虑 $k_1$ 的范围。因为 $0\le x=k_1p<n=pq$ ，所以

$0\le k_1<q$

而 $\gcd(p,q)=1$ 保证存在一个解， $k_1$ 通解是 $k_1'+rq$ ，所以长度为 $q$ 的区间中，有且仅有 一个解。这个解足以构造出 $x$ 。所以答案就是 $\langle p,q\rangle$ 的数量。

而 $p,q$ 的数量是啥子呢？就是每种质因数放到左边还是右边。就是

$2^{cnt}$

$cnt$ 用欧拉筛，就结束了。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint(){
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MaxN = 10000005;
int cnt[MaxN];
bool isPrime[MaxN];
vector< int > primes;
void sieve(int n){
	for(int i=2; i<=n; ++i)
		isPrime[i] = true;
	for(int i=2,len=0; i<=n; ++i){
		if(isPrime[i]){
			++ len, cnt[i] = 1;
			primes.push_back(i);
		}
		for(int j=0; j<len; ++j){
			if(primes[j] > n/i) break;
			isPrime[primes[j]*i] = 0;
			cnt[primes[j]*i] = cnt[i]+1;
			if(i%primes[j] == 0){
				-- cnt[primes[j]*i];
				break; // 强有力的剪枝
			}
		}
	}
}

int qkpow(int_ bas,int q,int Mod){
	int ans = 1;
	for(; q; q>>=1,bas=bas*bas%Mod)
		if(q&1) ans = ans*bas%Mod;
	return ans;
}

int main(){
	sieve(MaxN-5);
	for(int i=2; i<=MaxN-5; ++i)
		cnt[i] += cnt[i-1];
	int n, m; scanf("%*d");
	while(~scanf("%d",&n)){
		scanf("%d",&m);
		printf("%d\n",qkpow(2,cnt[n],m));
	}
	return 0;
}