[HDU6482]A Path Plan

题目

传送门 to HDU

思路

《尝试集》

显然是要减去所有相交的路径。

考虑枚举最后一个相交的点，那么其前面可以乱走，后面必须不相交。

用 $f(y,x,\Delta x)$ 表示，从 $(0,y)$ 走到 $(x,0)$ 和 $(x+\Delta x,0)$ 的不相交——除了在起点 $(0,y)$ 上相交——的路线数量。则

$C_{x+y}^{x}C_{x+\Delta x+y}^{x+\Delta x}-\sum_{0\le x_0\le x}\sum_{0\le y_0\le y}\left(C_{x_0+y-y_0}^{x_0}\right)^2 f(y_0,x-x_0,\Delta x)=0$

这个式子的意义是枚举最后一个相交的点。把 $\Delta x$ 换成 $x_2-x_1$ ，把 $x$ 换成 $x_1$ ，把 $x_0$ 换成 $x$ ，把 $y_0$ 换成 $y$ ，把 $y$ 换成 $y_1$ ，我们有

$\sum_{0\le x\le x_1}\sum_{0\le y\le y_1}(C_{x+y_1-y}^{x})^2f(y,x_1-x,x_2-x_1)=C_{x_1+y_1}^{x_1}C_{x_2+y_1}^{x_2}$

那么这道题中，我们需要计算

$\sum_{0\le x\le x_1}\sum_{0\le y\le y_1}C_{x+y_1-y}^{x}C_{x+y_2-y}^{x}f(y,x_1-x,x_2-x_1)$

两个式子的形式挺相近的。但是我化简不动了。不过讲道理肯定是正确的式子。

《飞鸟集》

考虑两条相交的路径。如果不考虑对应关系，它更像一个乱糟糟的毛线团——前面有两个端头，后面也有两个端头，中间搅在一块。

当然，我们可以先把毛线团的结构确定，然后再把颜色染上去。所以我们可以 交换对应关系。不难发现相交的路径数量就是 ${x_1+y_2\choose y_2}{x_2+y_1\choose y_1}$ 。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint(){
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
inline void writeint(int x){
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar((x%10)^48);
}
inline int qkpow(int_ b,int q,int m){
	int ans = 1;
	for(; q; q>>=1,b=b*b%m)
		if(q&1) ans = ans*b%m;
	return ans;
}

const int MaxN = 200005;
const int Mod = 1e9+7;
int jc[MaxN], inv[MaxN];
void prepare(){
	jc[1] = inv[1] = 1;
	for(int i=2; i<MaxN; ++i){
		jc[i] = 1ll*jc[i-1]*i%Mod;
		inv[i] = (0ll+Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
	}
	for(int i=2; i<MaxN; ++i)
		inv[i] = 1ll*inv[i]*inv[i-1]%Mod;
	jc[0] = inv[0] = 1;
}
int_ C(int n,int m){
	if(n < m) return 0; // 拿不出来
	return 1ll*jc[n]*inv[m]%Mod*inv[n-m]%Mod;
}

int main(){
	prepare();
	for(int T=readint(); T; --T){
		int x1 = readint(), x2 = readint();
		int y1 = readint(), y2 = readint();
		int_ all = C(x1+y1,y1)*C(x2+y2,y2)%Mod;
		int_ bad = C(x1+y2,y2)*C(x2+y1,y1)%Mod;
		all = (all+Mod-bad)%Mod;
		printf("%lld\n",all);
	}
	return 0;
}