离散信号（三） | 时域运算性质 （差分、卷积）

离散信号的时域运算

离散信号的时域运算包括平移、翻转、相加、相乘、累加、差分、时间尺度变换、卷积和及相关运算等。

（一）平移

如果有序列 $x(n)$，当m为正时， $x(n-m)$是指序列 $x(n)$逐项依次延时（右移）m位得到的一个新序列，而 $x(n+m)$则指依次超前（左移）m位。m为负时，则相反。

（二）翻转

如果有序列 $x(n)$，则 $x(-n)$是以纵轴为对称轴将序列 $x(n)$加以翻转得到的新序列。

（三）累加

如果有序列 $x(n)$，则 $x(n)$的累加序列 $y(n)$为
$y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)$
它表示 $y(n)$在 $n_0$上的值等于 $n_0$上及 $n_0$以前所有 $x(n)$值之和。

（四）差分运算

如果有序列 $x(n)$，则 $x(n)$的前向差分和后向差分分别为

前向差分
$\Delta x(n)=x(n+1)-x(n)$
后向差分
$\nabla x(n)=x(n)-x(n-1)$
由此可得出
$\nabla x(n)=\Delta x(n-1)$
（五）时间尺度（比例）变换

对某序列 $x(n)$，其时间尺度变换序列为 $x(mn)$或 $x(\frac{n}{m})$，其中m为正整数。

以 $m=2$的 $x(2n)$为例。 $x(2n)$不是像连续信号那样将 $x(n)$序列简单地在时间轴上按比例地压缩为原来一半，而是采样频率降低为原来的一半，即从 $x(n)$中每隔2点取1点。如果把 $x(n)$看作是连续时间信号 $x(t)$按采样间隔T的采样，则 $x(2n)$相当于将采样间隔从T增加到2T，即
$x(2n)=x(t)|_{t=n2T}$
这种运算也称为抽取，即 $x(2n)$是 $x(n)$的抽取序列。 $x(n)$及 $x(2n)$分别如下图所示。

同样地， $x(\frac{n}{2})=x(t)|_{t=nT/2}$表示采样间隔由T变成了 $\frac{T}{2}$，也可将 $x(\frac{n}{2})$称为是 $x(n)$的插值序列。

（六）卷积和

设两序列为 $x(n)$和 $h(n)$，则 $x(n)$和 $h(n)$的卷积和定义为
$y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)=x(n)*h(n)$
（七）两序列相关运算

两序列相关运算定义为
$R_{xy}(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)y(n+m)$
与离散信号卷积运算的关系为
$R_{xy}(m)=x(m)*y(-m)$
当 $y(n)=x(n)$时，有自相关序列
$R_{xx}(m)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)x(n+m)=x(m)*x(-m)$
当m=0时，它表示了序列的总能量
$R_{xx}(0)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2(n)$