《动手学深度学习pytorch》部分学习笔记，仅用作自己复习。

权重衰减

过拟合现象，即模型的训练误差远小于它在测试集上的误差。虽然增⼤训练数据集可能会减轻过拟合，但是获取额外的训练数据往往代价高昂。应对过拟合问题的常用⽅法：权重衰减（weight decay）。

方法

权重衰减等价于L2 范数正则化（regularization）。正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较⼩，是应对过拟合的常⽤手段。

L2 范数正则化在模型原损失函数基础上添加L2 范数惩罚项，从而得到训练所需要最小化的函数。 范数惩罚项指的是模型权重参数每个元素的平方和与一个正的常数的乘积。以3.1节（线性回归）中的线性回归损失函数

带有L2 范数惩罚项的新损失函数为

⾼维线性回归实验

下面，我们以高维线性回归为例来引⼊一个过拟合问题，并使用权重衰减来应对过拟合。设数据样本特征的维度为 p。对于训练数据集和测试数据集中特征为x 的任一样本，我们使用如下的线性函数来生成该样本的标签：

其中噪声项服从均值为0、标准差为0.01的正态分布。为了较容易地观察过拟合，我们考虑⾼维线性回归问题，如设维度 p=200；同时，我们特意把训练数据集的样本数设低，如20。

%matplotlib inline
import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import sys
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l
n_train, n_test, num_inputs = 20, 100, 200
true_w, true_b = torch.ones(num_inputs, 1) * 0.01, 0.05
features = torch.randn((n_train + n_test, num_inputs))
labels = torch.matmul(features, true_w) + true_b
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01,size=labels.size()), dtype=torch.float)
train_features, test_features = features[:n_train, :],features[n_train:, :]
train_labels, test_labels = labels[:n_train], labels[n_train:]

从零开始实现

下面先介绍从零开始实现权重衰减的方法。我们通过在目标函数后添加L2 范数惩罚项来实现权重衰减。

初始化模型参数

# 定义随机初始化模型参数的函数。
def init_params():
    # 为每个参数都附上梯度。
    w = torch.randn((num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

定义L2 范数惩罚项

# 只惩罚模型的权重参数。
def l2_penalty(w):
    return (w**2).sum() / 2

定义训练和测试

# 定义如何在训练数据集和测试数据集上分别训练和测试模型。
# 与前面几节中不同的是，这里在计算最终的损失函数时添加了L2 范数惩罚项。
batch_size, num_epochs, lr = 1, 100, 0.003
net, loss = d2l.linreg, d2l.squared_loss
dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features,train_labels)
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size,shuffle=True)
def fit_and_plot(lambd):
    w, b = init_params()
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 添加了了L2范数惩罚项
            l = loss(net(X, w, b), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l = l.sum()
            if w.grad is not None:
            w.grad.data.zero_()
            b.grad.data.zero_()
            l.backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        train_ls.append(loss(net(train_features, w, b),train_labels).mean().item())
        test_ls.append(loss(net(test_features, w, b),test_labels).mean().item())
            d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs','loss',range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train','test'])
    print('L2 norm of w:', w.norm().item())

观察过拟合

# 训练并测试高维线性回归模型。当 lambd 设为0时，我们没有使用权重衰减。
# 结果训练误差远小于测试集上的误差。这是典型的过拟合现象。
fit_and_plot(lambd=0)

输出：L2 norm of w: 15.114808082580566

使⽤权重衰减

fit_and_plot(lambd=3)

输出：L2 norm of w: 0.035220853984355927

可以看出，训练误差虽然有所提高，但测试集上的误差有所下降。过拟合现象得到一定程度的缓解。另外，权重参数的L2 范数⽐比不使用权重衰减时的更小，此时的权重参数更接近0。

简洁实现

def fit_and_plot_pytorch(wd):
    # 对权重参数衰减。权重名称⼀般是以weight结尾
    net = nn.Linear(num_inputs, 1)
    # 初始化
    nn.init.normal_(net.weight, mean=0, std=1)
    nn.init.normal_(net.bias, mean=0, std=1)
    #  对权重参数衰减
    optimizer_w = torch.optim.SGD(params=[net.weight], lr=lr,weight_decay=wd)
    #  不对偏差参数衰减
    optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias], lr=lr)
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            l = loss(net(X), y).mean()
            # 梯度清零
            optimizer_w.zero_grad()
            optimizer_b.zero_grad()
            l.backward()
            # 对两个optimizer实例分别调⽤step函数，从而分别更新权重和偏差
            optimizer_w.step()
            optimizer_b.step()
            train_ls.append(loss(net(train_features),train_labels).mean().item())
            test_ls.append(loss(net(test_features),test_labels).mean().item())
            d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs','loss',range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train','test'])
    print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())

与从零开始实现权重衰减的实验现象类似，使⽤用权重衰减可以在一定程度上缓解过拟合问题。

小结

正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。
权重衰减等价于L2 范数正则化，通常会使学到的权重参数的元素较接近0。
权重衰减可以通过优化器中的 weight_decay 超参数来指定。
可以定义多个优化器实例对不同的模型参数使用不同的迭代⽅法。

权重衰减——L2正则化