2018 AICCSA Programming Contest C - Function 题解（杨辉三角）

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题目大意

$dp[l][r]=dp[l+1][r]+dp[l][r-1]+pre[r]-pre[l-1],dp[i][i]=a[i]，要你求dp[1][n]$

题目思路

如果这个题目数据范围小的话，那么显然数区间dp，但是数据范围大，显然就不是了。
你可以慢慢去观察性质，慢慢把区间长度变大，会发现其满足杨辉三角的性质。
如
dp[1][1]=a[1]
dp[1][2]=2a[1]+2a[2]
dp[1][3]=3a[1]+5a[2]+3a[3]
dp[1][4]=4a[1]+9a[2]+9a[3]+4a[4]
dp[1][5]=5a[1]+14a[2]+19a[3]+14a[4]+5a[5]

你会发现每个数都是上一行的两个数相加再加1得到的，和杨辉三角很相似，然后你再猜一下组合数的答案，你就发现每个数要算的次数等于 $C_{n+1}^{i}$

代码

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
#define fi first
#define se second
#define debug printf(" I am here\n");
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const double eps=1e-10;
bool flag=1;
int n;
ll fac[maxn],inv[maxn],a[maxn],ans;
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*base%mod;
        }
        base=base*base%mod;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}
void init(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=1e6+1;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    inv[1000001]=qpow(fac[1000001],mod-2);
    for(int i=1e6;i>=1;i--){
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
}
ll c(int a,int b){
    return fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
signed main(){
    init();
    int _;scanf("%d",&_);
    while(_--){
        ans=0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ans=(ans+a[i]*(c(n+1,i)-1))%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}