试题 算法提高 欧拉函数

2020蓝桥杯习题汇总
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问题描述
　　老师出了一道难题，小酱不会做，请你编个程序帮帮他，奖金一瓶酱油：
　　从1—n中有多少个数与n互质?
　　|||||╭══╮ ┌═════┐
　　╭╯让路║═║酱油专用车║
　　╰⊙═⊙╯ └══⊙═⊙═(坑爹的题面格式化，害得我用‘|’来代替空格，复制到记事本上看就变成正版的了)
输入格式
　　输入共一行，表示一个整数n。
输出格式
　　输出共一行，表示从1—n中与n互质的数的个数。
样例输入
30
样例输出
8
数据规模和约定
　　60%的数据≤10^6
　　100%的数据≤2*10^9

分析：
phi§等于p乘以每个1减去p的质因数（不重复）的倒数之差。
例如：30的质因数为2 3 5，则phi(30)=30*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=8
25的质因数为5 5，但是这里是不能重复的，所以phi(25)=25*(1-1/5)=20
这里借用了我之前写的分解质因数的一篇文章传送门
这道题问题在于怎样避免超时，所以我们应该尽量优化我们的代码

1.如果输入的数已经是质数了，那么可以直接输出，节省运行时间。
2.如果不是质数，那么就从2开始求解质因数；假设这个数能被2整除，那我们应该直接利用循环一直除，直到该数不能被2整除，然后进行下一个数，直到循环结束。例如n=80，首先从2开始判断是否为80的质因数，很明显80能被2整除，那我们就一直除，直到不能被2整除，即80/2=40,40/2=20,20/2=10,10/2=5，此时n=5不能被2整除，而且3和4也不行，直接到5/5=1，此时循环结束。
3.还有一个问题就是除尽某个质因数之后，要判断该数是否为质数，如果该数是质数，那么直接返回该数，这样子可以省下很多时间，避免超时。
4.其次，在判断质数时，分为偶数和奇数，偶数情况下都不是质数，奇数情况下只需要判断到根号n+1的情况即可，并且步长为2，这样也减少了时间上的消耗。

代码已通过蓝桥杯的测试，别忘了点个赞呀~

while True:
    try:
        n = int(input())
        result = n
        res = []
        def fun(n):
            # 判断质数
            if n < 2:
                return False
            elif n % 2 == 0:
                return False   
            for i in range(3,int(pow(n,0.5))+1,2):
                if n % i == 0:
                    return False
            return True
            
        for i in range(2,n+1):
            if n % i == 0:
                while n % i == 0:
                    n //= i
                res.append(i)
            if fun(n):
                res.append(n)
                break

        for i in set(res):
            result = result * (1-1/i)
        print(int(result))
    except:
        break