体渲染方程详解 - 精品（未完结）

很早就想写这么一篇比较全而且详细的博客，介绍一下体渲染的基础算法。这篇博客，能多长我就写多长，能多详细我就写多详细，争取把基础算法都介绍清楚。

那么现在我就开始逐步构建这个博客。

Table of Contents

光传输理论

发射（emission）

吸收（absorption）

吸收发射模型（Volume Rendering Equation）

组合（Composition）

光传输理论

通过模拟光线穿过体空间的过程，我们可以建模得到体渲染的光学方程。

而体渲染是采用“逆向光线”的方式，即射线从眼睛射出，然后进入体空间，在体空间中进行采样，得到最后的成像效果。

发射（emission）

我们假设体空间中的每个元素都是在发光的，我们采样会不断的积累光能：

公式：

$\frac{dI}{ds} = Q(s)$ ，变成积分形式为：

$I(s) = I_{s_0}+\int_{s_0}^{s}Q(t)dt$

其中，I 表示积累的光能，在外界一开始的光能 $I_{s_0}$ 上开始累加，对经过路径中的每个微元的发光量进行累加（积分），得到的总的发光量。

这里的出口处，可以作为外界的初始光亮度。

吸收（absorption）

光在通过物体时会被挡住（吸收），前面的微粒会挡住后面的微粒。

公式：

$\frac{dI}{ds}=-\tau (s)\cdot I(s)$

其中， $-\tau (s)$ 是衰减系数，也就是说前面的微粒会遮挡后面的多少：

转化为积分形式：

$I(s)=I_{s_0}\cdot e^{-\int^{s}_{s_0}\tau (t)dt}$

也就是说，我们接收到的光源，就是初始光源 $I_{s_0}$ 然后经过一定衰减后的值（这里不考虑emission）。

吸收发射模型（Volume Rendering Equation）

现在我们需要将这两个模型整合成一个既有发射又有吸收的模型，但是这个虽然看上去是简单地相加：

但是它的意义却变了：某位置的光能积累的变化率 = 当前位置微元发出的光亮度 减去 当前微元对已经积累的光亮度的阻挡衰减。

这个已经积累的光亮度 I(s) ，就是不断的积累体素发射的光，然后又被前面的粒子阻挡衰减得到的。

变成积分形式：

方程等号后面的左边部分就是初始光亮度不断衰减的过程，右边我们解释一下：

表示的是当前位置 p 微元发射的光能，在经历了前面微粒（p->s）的阻挡衰减以后在 s 位置的值，再对其进行积分，也就是从 s0 位置开始进行采样，采样路线中的所有微粒之间的相互作用（发光增强，阻挡衰减）之后的结果。

衰减的离散化：

吸收发射模型的离散化：

组合（Composition）

我们在离散公式中只使用三个小段来找规律：

但是这里默认的颜色是已经预乘了当前体素的不透明度的，如果没有预乘，则需要：

其实就是alpha混合。

我们一般就是从前向后积分（混合）：

同理，这里的C(i)也需要预乘不透明度。

颜色矫正（color correction）

离散化的不透明度和颜色贡献需要相应地修改，因为它们的值取决于采样距离。

分解成离散和形式后，第 i 段的透明度：

注意这个值是一定小于1的。

第 i 段的颜色值：

我们注意到：

所以

因为颜色的近似公式比较容易：

所以

当然这个因为并不一定是一个确定量（很多时候都是我们在传输函数里自己设置的），我们可以一开始定一个初始采样距离，然后当采样距离变化时注意修改不透明度项。（因为颜色项与距离的关系是线性的，所以只需要乘不同的采样步长就好了）。很多人都使用的体渲染程序是这样：

//color表示总的颜色值(x,y,z)和不透明度(w)
color.x = color.x + stepSize*color_temp.x*color_temp.w*(1-color.w)
color.y = color.y + stepSize*color_temp.y*color_temp.w*(1-color.w)
color.z = color.z + stepSize*color_temp.z*color_temp.w*(1-color.w)
color.w = color.w + stepSize*color_temp.w*(1-color.w)

颜色在这里没有什么问题，主要就是color.w的值，最好要矫正一下，首先设置一个初始步长下的不透明度，然后根据上面所述的方法去求变换步长以后的不透明度。

参考文献

Visual Computing for Medicine: Theory, Algorithms, and Applications: Second Edition

Real-Time Volume Graphics