1、小和问题
换个思路，就是找一个数，他右侧有几个比他大的数，有几个，就把他乘以几。
用merge，统一用数量分批的方式去处理
类似于归并排序的思想。
为了防止溢出，所以取中值用下面的方式
归并排序之所以快，就是因为他不浪费比较。他是成组成批的比较
2、荷兰国旗问题
前置铺垫：
例如：输入 4,6,7,3 num的值为5.
一开始，使得x指向索引位置为-1的位置，将4放入0的位置，将4与5做比较，4小于5，则将x所指区域有一个位置的元素的值与4所在的位置进行交换，即索引位置为0的元素（因为x指向-1，他下一个元素指向的位置为0）与索引位置为0的元素（4本身的索引位置）进行交换，因此4的位置固定在了索引位置为0的地方，x指向0；
将6放入数组索引位置为1的区域，将6与5做比较，6大于5，则不进行交换；
将7放入索引位置为2的区域，由于7大于5，因此不进行交换；
将3放入索引位置为3的区域中，由于3小于5，则将3与x所指位置的下一个位置的元素（即6）进行交换，则3放在了索引位置为1的区域，6放在了索引位置为3的区域。。。整个过程如下图所示：
荷兰国旗问题需要两个空间，一个是小于num，一个是大于num的区域，如下图：
大于区域不用 i++，因为小于区域是推着等于区域在向右跑，因此小于的情况，i需要加加操作；如果当前值等于num，则继续向后考察；如果当前的数小于num，则将小的数发货到 less 的后面。
// 荷兰国旗.cpp : 此文件包含 "main" 函数。程序执行将在此处开始并结束。
//
#include "pch.h"
#include <iostream>
using namespace std;
void calculate(int container[], int num, int len) {
if (container == nullptr) return;
int less = -1, more = len;
for (int i = 0; i < more; ) {
if (container[i] < num) {
less++;
container[i]=container[less] + container[i];
container[less] = container[i] - container[less];
container[i] = container[i] - container[less];
i++;
}
else if (container[i] > num) {
//此时没有进行i++，使得下一轮比较的时候，i位置的元素可以与num进行比较
//否则位置为i的元素的缺少了一次与num的比较
more--;
container[i] = container[more] + container[i];
container[more] = container[i] - container[more];
container[i] = container[i] - container[more];
}
else {
i++;
}
}
}
int main()
{
int container[] = { 3,4,5,0,2 };
int num = 3;
int len = sizeof(container) / sizeof(int);
calculate(container, num, len);
return 0;
}3、经典快排
#include <iostream>
void quick_sort(int a[], int l, int r) {
if (l >= r) return;
int low = l, high=r;
int key = a[low];
while (low < high) {
//从右往左找，如果该值小于key，则左移到low所指的位置
for (;; high--) {
if (high <= low) break;
if (a[high] < key) {
a[low] = a[high];
break;
}
}
//从左往右找，如果该值大于key，则右移到high所指的位置
for (;; low++) {
if (high <= low)break;
if (a[low] > key) {
a[high] = a[low];
break;
}
}
}
//把key放在low和high重合的位置（即key应该在数组中的最终位置）
if (low == high) a[low] = key;
//分而治之
quick_sort(a, l, low - 1);
quick_sort(a, low+1, r);
}
int main()
{
int a[10] = {2,6,3,8,9,0,1,4,7,5};
//递归
quick_sort(a, 0,9);
return 0;
}
4、改进后的快排
分成三个区域，小于x，等于x和大于x。然后递归排序小于x的区域和大于x的区域，而等于x的区域就不需要去动了。经典快排每次都确定一个元素的位置，而改进后的快排每次都确定所有等于x的位置。
先认为的设定x为对比数据，然后将数组划分为四块（小于x，等于x，大于x和x），之后将x与大于x的第一个元素进行交换，这样就把数组分成了我们想要的上图所示的三块了。
#include <iostream>
using namespace std;
//交换arr[i]和arr[j]的值
void swap(int arr[],int i, int j) {
int temp = 0;
temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
//每次的对比标杆为arr[r]，即图中的x
void calculate(int arr[], int l, int r) {
if (l >= r) return;
int less = l - 1, more = r;
while (l < more) {
//当前值小于对比值（挪到less的右侧）
if (arr[l] < arr[r]) {
swap(arr, ++less, l++);
}
//当前值大于对比值（挪到more的位置）
else if (arr[l] > arr[r]) {
swap(arr, --more, l);
}
//指针向后移动
else {
l++;
}
}
//将arr[r]移动到等于x的区域
swap(arr, more, r);
calculate(arr, l,less);
calculate(arr, more+1, r);
}
int main()
{
int container[] = { 3,0,5,0,2 };
int len = sizeof(container) / sizeof(int);
calculate(container, 0, len-1);
return 0;
}经典快排的问题——你划分出的小于区域和大于区域，有可能是偏的。如果输入的是倒序，则快排的时间复杂度就会降到O(n*n)。
5、对比归并排序和快排
1）归并排序比快速排序输你需要去准备数组，还要有数组的拷贝。merge sort输在常数项上了，merge sort的额外空间复杂度是O(n)
快排，一个while搞定
merge sort需要几个while，最后还要用一个for去拷贝过去
随机快排的空间复杂度O(logN)
快排的空间用在了记录每一次的划分点上——因为每次都要划分两块区域，需要一个空间去记录划分的那个值是多少，因此在最好情况下，你需要logN那么大的空间去记录，最差情况下是O(N)那么大的空间去进行记录。
6、堆排序
堆是一个完全二叉树（满二叉树的每个非叶子节点都有两个孩子节点，完全二叉树是前几层都是满的，左后一层叶子节点从左到右依次连续的，例如：
）
堆在实际过程中可以用数组来进行实现。位置 i 的左孩子的下标为 2* i + 1 ，右孩子下标为 2* i + 2 。堆的结构在脑海中，实际的存储形式是数组。位置为 i 的节点的父节点坐标为 (i-1)/2
-1/2=0；
堆分为大根堆和小根堆，堆就是完全二叉树。
把数组变成大根堆的过程（找索引位置为 x 的节点的父节点，父节点的索引位置为 （x-1)/2 ）
1、数组：
2、考查范围（0到1时的堆）：
由于此时 1 的父节点坐标 x=（1-1)/2 =0 ，计算出 1 的父节点为2，2>1 ，因此 1 不与2 进行交换。
3、考查范围（0-2时的堆）：
变换过程如下：
计算 3 的父节点为 （2-1)/2=0，因此3的父节点坐标为0,3 的父节点 2<3 ,此时需要将 3 和 2 的位置进行交换，数组变成
4、考查范围（0-3时的堆）：
按照上述比较方式，6先和1进行交换，数组变成
，然后6 再和3进行比较，发现自己比3大，因此两个数进行交换
代码实现思路：给你一个数组，依次把 0到 i 的位置的数加进来，将 i 位置元素的值与其父位置元素的值进行比较，只要我大，我们就换，直到不能继续往上换位置，最终形成大根堆。
heapinsert过程
#include<iostream>
using namespace std;
void swap(int arr[], int i, int father) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[father];
arr[father] = temp;
}
void helper(int arr[], int i) {
//不断将其与其父节点进行比较，如果他更大，则交换两个节点的值
while (arr[i]>arr[(i-1)/2]) {
swap(arr, i, (i - 1) / 2);
i = (i - 1) / 2;
}
}
void CreatHeap(int input [], int len) {
if ((input == nullptr) || (len == 0)) return;
//一次获取一个元素，考察他应该在堆中的位置
for (int i = 0; i < len; i++) {
helper(input, i);
}
}
int main() {
int heap[] = { 2,1,3,6,0,4};
int len = sizeof(heap) / sizeof(int);
CreatHeap(heap, len);
return 0;
}堆中有值发生变化时
如果排好的大顶堆中，突然有一个的值变小了，则将该值与其两个孩子节点（位置 i 的左孩子的下标为 2* i + 1 ，右孩子下标为 2* i + 2 。）的值进行比较，将更大的孩子与其进行交换，然后再与新的两个孩子进行比较，依次比较至比两个孩子的值都大时，停止比较。
heapify过程
void heapify(int heap[], int index, int size) {
//确定左孩子的节点坐标
int left = index * 2 + 1;
//确保不越界
while (left <= size) {
//选择两个孩子里面的大值
int largest = (left + 1 < size && heap[left + 1] > heap[left])
? left + 1
: left;
//将大值与原index的值进行比较，取两者中最大者
largest = heap[largest] > heap[index] ? largest : index;
//说明index已经是最大的值了
if (largest == index) break;
//将最大值放在index位
swap(heap, largest, index);
index = largest;
//重新确定左子树的位置，方便进行下一轮比较
left = index * 2 + 1;
}
}堆排序的全过程
先让数组变成大根堆，然后将堆顶元素与堆中最后一个元素进行交换，再将堆的尺寸减一，此时最大的值就固定在数组的最后一位了。将堆中剩余的元素进行heapify。这样，每次都能确定一个值的位置。
#include "pch.h"
#include<iostream>
using namespace std;
void swap(int arr[], int i, int j) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
void helper(int arr[], int i) {
//不断将其与其父节点进行比较，如果他更大，则交换两个节点的值
while (arr[i]>arr[(i-1)/2]) {
swap(arr, i, (i - 1) / 2);
i = (i - 1) / 2;
}
}
void heapify(int heap[], int index, int size) {
//确定左孩子的节点坐标
int left = index * 2 + 1;
//确保不越界
while (left < size) {
//选择两个孩子里面的大值
int largest = (left + 1 < size && heap[left + 1] > heap[left])
? left + 1
: left;
//将大值与原index的值进行比较，取两者中最大者
largest = heap[largest] > heap[index] ? largest : index;
//说明index已经是最大的值了
if (largest == index) break;
//将最大值放在index位
swap(heap, largest, index);
index = largest;
//重新确定左子树的位置，方便进行下一轮比较
left = index * 2 + 1;
}
}
void CreatHeap(int input [], int len) {
if ((input == nullptr) || (len == 0)) return;
//一次获取一个元素，考察他应该在堆中的位置
for (int i = 0; i < len; i++) {
helper(input, i);
}
int size = len;
swap(input, 0, --size);
while (size > 0) {
heapify(input, 0, size);
swap(input, 0, --size);
}
}
int main() {
int heap[] = { 2,1,3,6,0,4};
int len = sizeof(heap) / sizeof(int);
CreatHeap(heap, len);
return 0;
}7、题目
一个口，定时吐出随机数，系统希望随时找到流中吐出的所有数的中位数。
适合用堆结构去存储每一个吐出的流，因为你用普通数组存储每次吐出的数字，当系统需要中位数时，你需要先对数组进行排序，然后使用nlogn的时间来获取中位数的值。当系统对于中位数的需求很频繁的时候，用普通数组就不是一个好办法了，这时候适合用堆结构来对吐出的每一个数字进行存储。
准备两个堆，一个是大根堆，一个小根堆。我们要保持所有吐出的数字中，小的那一半在大根堆里面，大的那一半，在小根堆里面。
假设口先吐出一个 5 ，将其放入大根堆中。之后口吐出来一个 4 ，将4 与5 比较， 4 小于 5，则将 4 放入大根堆，此时两个堆的容量不平衡了，我们将大根堆的堆顶 5 弹出，存入到小根堆中作为堆顶元素。
堆顶弹出的过程：
（先交换，再减一，然后heapify。此时原来的堆顶不在堆的size范围之内，所以这个堆顶在形象上就已经不属于这个堆了，虽然他还在数组中，但是在堆的构想里面，他已经不存在了）
1、假设大根堆如此
2、先让最后一个位置的数与堆顶进行交换，然后将堆的大小减一
3、经历一场 heapify过程
回到题目中来，中位数利用大根堆的堆顶和小根堆的堆顶就可以解出来。
策略：
1、吐出的数字值小于等于大根堆的堆顶，则扔进大根堆里去；
2、如果大于大根堆的堆顶，则扔进小根堆里去；
3、如果两个堆的size之间差值大于等于2，则元素多的那个堆的堆顶弹出，放入另一个堆里面去。
实现代码：
利用STL里面的优先队列来实现大顶堆和小顶堆。先把这题解出来，然后再自己实现大顶堆和小顶堆吧。
/*
利用大顶堆和小顶堆来构造一个实时获取中位数的小工具
算法思路：
保持两个堆，堆的尺寸相差不超过1，如果超过，则将尺寸大的堆的堆顶弹出
每次获取一个数字，如果数字小于大顶堆的堆顶，则插入大顶堆中，否则插入小顶堆中
插入之后，比较两个堆的尺寸，实时调整堆
1、制作一个东西，用于获取用户的输入，输入之后自动输出当前的中位数。当输入非数字的值时，程序结束
2、构建一个大顶堆，一个小顶堆
3、用一个函数，实时将输入的数字与大顶堆和小顶堆的堆顶进行比较，用于决定插入哪一个堆中。
4、用一个函数，比较插入之后的两个堆的尺寸，如果尺寸大于1，则将大的堆的堆顶弹出，进而调整堆中的元素的位置
*/
#include "pch.h"
#include<string>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
//返回当前中位数
int ReturnMid(priority_queue <int> & BigTop,
priority_queue <int, vector<int>, greater<int> >& SmallTop) {
//根据size来选择反馈的实时中位数
if (BigTop.size() - SmallTop.size() == 1) {
return BigTop.top();
}
else if (SmallTop.size() - BigTop.size() == 1) {
return SmallTop.top();
}
else {
return (BigTop.top() + SmallTop.top()) / 2;
}
}
//判断是否需要调整尺寸（注意size_t类型相减的结果）
void CheckUpSize(priority_queue <int> & BigTop,
priority_queue <int, vector<int>, greater<int> >& SmallTop) {
int temp = 0;
//尺寸有误则调整尺寸
if (BigTop.size() - SmallTop.size() ==2) {
temp = BigTop.top();
BigTop.pop();
SmallTop.push(temp);
}
else if (SmallTop.size() - BigTop.size() ==2) {
temp = SmallTop.top();
SmallTop.pop();
BigTop.push(temp);
}
}
//选择一个堆进行插入操作
void SelectToInsert(int input,
priority_queue <int> & BigTop,
priority_queue <int, vector<int>, greater<int> > & SmallTop) {
//初始情况：先将元素压入大顶堆中
if ((BigTop.size() == 0) && (SmallTop.size() == 0)) {
BigTop.push(input);
return;
}
if (input <= BigTop.top()) {
BigTop.push(input);
}
else {
SmallTop.push(input);
}
}
int main() {
//数据输入接口
int input = 0;
priority_queue <int> BigTop;
priority_queue <int, vector<int>, greater<int> > SmallTop;
while (1) {
//如果input不是数字，则跳出循环
cin >> input;
if (cin.fail()) {
//not a number
cout << "当前输入非数字，程序退出" << endl;
break;
}
//调用函数，将输入的数字与两个堆的堆顶进行比较，选择插入到哪一个堆中
SelectToInsert( input, BigTop, SmallTop );
CheckUpSize( BigTop, SmallTop );
cout << ReturnMid( BigTop, SmallTop );
}
return 0;
}
来一个leetcode 295版本的
class MedianFinder {
private:
priority_queue<int,vector<int> ,less<int>> maxHeap; // 保存较小数
priority_queue<int, vector<int>,greater<int>> minHeap; // 保存较大数
public:
// Adds a number into the data structure.
void addNum(int num) {
maxHeap.push(num);//往较小的数中添加
int t = maxHeap.top(); //返回较小数中的最大数
maxHeap.pop();
minHeap.push(t);//并将其添加到较大数中
int maxLen = maxHeap.size();
int minLen = minHeap.size();
if (minLen - maxLen > 0)
{
int t = minHeap.top();
maxHeap.push(t);
minHeap.pop();
}
}
// Returns the median of current data stream
double findMedian() {
if (maxHeap.size() > minHeap.size())
return maxHeap.top()*1.0;
else if (maxHeap.size() < minHeap.size())
return minHeap.top()*1.0;
else
return (minHeap.top() + maxHeap.top()) / 2.0;
}
};
8、桶排序=基数排序+计数排序+... 不是基于比较的排序
时间复杂度O(n)
不基于比较的排序就类似于，给定一个数组，一直数组中元素的值全都处于 0到60之间，我们就可以申请一个长度为61的数组，遍历待排序的数组，遇到1的时候，就在我们申请的数组的索引位置为 1 的地方的值进行加 1 操作。如此，遍历一遍数组，我们就已经确定出每个数在数组中出现的次数，然后我们根据申请的数组中的数据来恢复，就得到了排序之后的数组。这种不急于比较的排序的时间复杂度是O(n)的。
上述排序方法就是桶排序中的计数排序。
9、补充问题：
给定一个数组，求排序后，相邻两数的最大差值，要求时间复杂度为O(n)，且要求不能用非基于比较的排序。
思路：遍历数组，找到最小值和最大值。如果最小值和最大值相等，则返回0. 假设数组长度为 N ，我们准备一个长度为 N+1 的数组，将最小值放在数组索引位置为 0 的位置上，最大值放在索引位置为 N 的位置上。中间的数字就放在中间的位置里。
比如下图中，数组长度为 9 ，数组中元素的 最大值为 99 ，最小值为 0 。我们申请一个大小为 10 的数组，则根据区间放入数组中的每个值，如下图：
有n和数和n+1个桶，最左边的桶不空，最右边的桶不空，则中间必然存在一个空桶。n个元素在排序之后，相邻两个元素可能来自同一个桶，也可能来自不同的桶，因此最大差值肯定不来自相同的桶中的两个数
数据结构：
每个桶记录三个信息：是否有数字存入；存入的最小值；存入的最大值。
然后依次计算连续的非空桶之间的差值（即前一个非空桶的最大值和后一个非空桶的最小值之间的差值）。
不去直接找空桶两侧的桶之间的差值的原因如下图所示：
实现代码：
#include "pch.h"
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
//计算当前数值属于哪一个桶
int calculate_inter(int num, int len, int smallest, int largest) {
return (num - smallest)*len /(largest - smallest);
}
//计算最大的距离
void MaxGap(vector<int>input) {
int len = input.size();
if (len == 0) return;
//找到数组中的最大值和最小值
int smallest = input[0], largest = input[0];
for (int i = 0; i < len; i++) {
if (input[i]>largest) {
largest = input[i];
}
else if (input[i] < smallest) {
smallest = input[i];
}
}
//如果最大值等于最小值，则
if (largest == smallest) {
cout << 0;
return;
}
//申请尺寸为 N+1 的数组(初始化长度为len+1，初值为0，不初始化的话，直接赋值赋不上)
vector<int>mins(len+1),maxs(len+1);
vector<bool>hasNum(len+1);
//根据最大值最小值分段
int interval =0;
for (int i = 0; i < len; i++) {
//确定该值属于哪一个桶(这个值是1到len之间？一会儿验证一下)
interval = calculate_inter(input[i], len, smallest, largest);
mins[interval] = hasNum[interval] ? min(mins[interval], input[i]) : input[i];
maxs[interval] = hasNum[interval] ? max(maxs[interval], input[i]) : input[i];
hasNum[interval] = true;
}
//找最大的gap
int answer = 0, nowLargest = maxs[0];
for (int i = 1; i <= len; i++) {
if (hasNum[i]) {
answer = answer < mins[i] - nowLargest ? mins[i] - nowLargest : answer;
nowLargest = maxs[i];
}
}
cout << answer;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
vector<int>input = { 0,99,5,22,66,44,27,43,0,23,75,34,17,53,89,34,66,27,85,42 };
MaxGap(input);
return 0;
}10、用数组实现大小固定的队列和栈
一、数组实现栈
二、数组实现队列
11、实现一个特殊的栈，在实现栈的基本功能的基础上，再实现返回栈中最小元素的操作。
要求：
1、pop、push、getMin造作的时间复杂度都是O(1)
2、设计的栈类型可以使用现成的栈结构。
思路：
准备两个栈，一个存数据，一个存最小值，压入数据的时候，data栈和min栈一起增长：
一开始来一个数据四，则将4压入到两个栈中：
又来了一个数，这个数与栈顶元素进行比较，如果这个数比栈顶大，则重复压入栈顶元素，如果这个数比栈顶元素小，则将该值压入栈中。
12、栈实现队列，用队列实现栈
栈实现队列
两个栈，push和pop，入队操作的时候，永远都向push栈压入元素，出队操作的时候，永远都从pop栈弹出元素。
原则：
1、push栈向pop栈倒数据，一定要把push栈倒空；
2、如果pop栈非空，则不允许push栈向pop栈倒数据；
队列实现栈
两个队列，入栈操作的时候只在一个队列中加入数据；出栈操作的时候，将数据依次弹出并加入到另一个队列中，当弹出元素为队尾元素时，将该值返回给用户，不将该值压入到另一个队列中。
