CF1209E2 Rotate Columns (hard version)

一、题目

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二、解法

首先可以缩小数据范围，你会发现如果将每一列按最大值排序，那么 $m$较大时取前 $n$列算答案即可。

要将题目求的东西做一个转化，每一行的最大值转化成每一行至多选一个数（反正要求总和最大），这样就一定会选每一行的最大值。设 $dp[i][s]$为处理到了第 $i$列，行是否选了数的状压为 $s$。

转移要预处理算出旋转情况下的子集总和最大值，这一列的一个状态 $j$旋转 $d$次得到的状态是((j>>d)|(j<<n-d))&((1<<n)-1)，那么在 $d$取 $[0,n)$时找最大值即可。转移过程枚举子集的子集，所以时间复杂度 $O(tn3^n)$

#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 2005;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int T,n,m,dp[20][1<<12],sum[1<<12];
struct node
{
	int a[20],mx;
	bool operator < (const node &b) const
	{
		return mx>b.mx;
	}
}s[M];//下标是列
signed main()
{
	T=read();
	while(T--)
	{
		n=read();m=read();
		for(int j=1;j<=m;j++)
			s[j].mx=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				s[j].a[i]=read();
				s[j].mx=max(s[j].mx,s[j].a[i]);
			}
		sort(s+1,s+m+1);
		memset(dp,0,sizeof dp);
		for(int i=1;i<=min(n,m);i++)
		{
			memset(sum,0,sizeof sum);
			for(int j=1;j<(1<<n);j++)
				for(int k=0;k<n;k++)
					if(j&(1<<k))
						sum[j]=sum[j^(1<<k)]+s[i].a[k];
			for(int j=1;j<(1<<n);j++)
				for(int d=0;d<n;d++)
				{
					int k=((j>>d)|(j<<n-d))&((1<<n)-1);
					sum[j]=max(sum[j],sum[k]);
				}
			for(int j=1;j<(1<<n);j++)
				for(int k=j;;k=(k-1)&j)
				{
					dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][k^j]+sum[k]);
					if(k==0) break;
				}
		}
		printf("%d\n",dp[min(n,m)][(1<<n)-1]);
	}
}