pytorch学习笔记（三十七）：RMSProp

RMSProp算法

AdaGrad算法中因为调整学习率时分母上的变量 $\boldsymbol{s}_t$一直在累加按元素平方的小批量随机梯度，所以目标函数自变量每个元素的学习率在迭代过程中一直在降低（或不变）。因此，当学习率在迭代早期降得较快且当前解依然不佳时，AdaGrad算法在迭代后期由于学习率过小，可能较难找到一个有用的解。为了解决这一问题，RMSProp算法对AdaGrad算法做了一点小小的修改。

1. 算法

不同于AdaGrad算法里状态变量 $\boldsymbol{s}_t$是截至时间步 $t$所有小批量随机梯度 $\boldsymbol{g}_t$按元素平方和，RMSProp算法将这些梯度按元素平方做指数加权移动平均。具体来说，给定超参数 $0 \leq \gamma < 1$，RMSProp算法在时间步 $t>0$计算

$\boldsymbol{s}_t \leftarrow \gamma \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \gamma) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t.$

和AdaGrad算法一样，RMSProp算法将目标函数自变量中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整，然后更新自变量

$\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\boldsymbol{s}_t + \epsilon}} \odot \boldsymbol{g}_t,$

其中 $\eta$是学习率， $\epsilon$是为了维持数值稳定性而添加的常数，如 $10^{-6}$。因为RMSProp算法的状态变量 $\boldsymbol{s}_t$是对平方项 $\boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t$的指数加权移动平均，所以可以看作是最近 $1/(1-\gamma)$个时间步的小批量随机梯度平方项的加权平均。如此一来，自变量每个元素的学习率在迭代过程中就不再一直降低（或不变）。

照例，让我们先观察RMSProp算法对目标函数 $f(\boldsymbol{x})=0.1x_1^2+2x_2^2$中自变量的迭代轨迹。

%matplotlib inline
import math
import torch
from torch import nn
import time 
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
sys.path.append("..") 
import d2lzh_pytorch as d2l

def rmsprop_2d(x1, x2, s1, s2):
    g1, g2, eps = 0.2 * x1, 4 * x2, 1e-6
    s1 = gamma * s1 + (1 - gamma) * g1 ** 2
    s2 = gamma * s2 + (1 - gamma) * g2 ** 2
    x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
    x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
    return x1, x2, s1, s2

def f_2d(x1, x2):
    return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2


def train_2d(trainer):  
    x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0  
    results = [(x1, x2)]
    for i in range(20):
        x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
        results.append((x1, x2))
    print('epoch %d, x1 %f, x2 %f' % (i + 1, x1, x2))
    return results

def show_trace_2d(f, results):  
    plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
    x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(-5.5, 1.0, 0.1), np.arange(-3.0, 1.0, 0.1))
    plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
    plt.xlabel('x1')
    plt.ylabel('x2')
eta, gamma = 0.4, 0.9
show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(rmsprop_2d))

输出：

epoch 20, x1 -0.010599, x2 0.000000

2. 从零开始实现

接下来按照RMSProp算法中的公式实现该算法。

features, labels = d2l.get_data_ch7()

def init_rmsprop_states():
    s_w = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32)
    s_b = torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    return (s_w, s_b)

def rmsprop(params, states, hyperparams):
    gamma, eps = hyperparams['gamma'], 1e-6
    for p, s in zip(params, states):
        s.data = gamma * s.data + (1 - gamma) * (p.grad.data)**2
        p.data -= hyperparams['lr'] * p.grad.data / torch.sqrt(s + eps)

我们将初始学习率设为0.01，并将超参数 $\gamma$设为0.9。此时，变量 $\boldsymbol{s}_t$可看作是最近 $1/(1-0.9) = 10$个时间步的平方项 $\boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t$的加权平均。

def linreg(X, w, b):
    return torch.mm(X, w) + b

def squared_loss(y_hat, y): 
    # 注意这里返回的是向量, 另外, pytorch里的MSELoss并没有除以 2
    return ((y_hat - y.view(y_hat.size())) ** 2) / 2

定义训练模型

def train_ch7(optimizer_fn, states, hyperparams, features, labels,
              batch_size=10, num_epochs=2):
    # 初始化模型
    net, loss = linreg, squared_loss
    
    w = torch.nn.Parameter(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(features.shape[1], 1)), dtype=torch.float32),
                           requires_grad=True)
    b = torch.nn.Parameter(torch.zeros(1, dtype=torch.float32), requires_grad=True)

    def eval_loss():
        return loss(net(features, w, b), labels).mean().item()

    ls = [eval_loss()]
    data_iter = torch.utils.data.DataLoader(
        torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)
    
    for _ in range(num_epochs):
        start = time.time()
        for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):
            l = loss(net(X, w, b), y).mean()  # 使用平均损失
            
            # 梯度清零
            if w.grad is not None:
                w.grad.data.zero_()
                b.grad.data.zero_()
                
            l.backward()
            optimizer_fn([w, b], states, hyperparams)  # 迭代模型参数
            if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:
                ls.append(eval_loss())  # 每100个样本记录下当前训练误差
    # 打印结果和作图
    print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))
    plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)
    plt.xlabel('epoch')
    plt.ylabel('loss')

train_ch7(rmsprop, init_rmsprop_states(), {'lr': 0.01, 'gamma': 0.9},
              features, labels)

输出：

loss: 0.243452, 0.049984 sec per epoch

3. 简洁实现

通过名称为RMSprop的优化器方法，我们便可使用PyTorch提供的RMSProp算法来训练模型。注意，超参数 $\gamma$通过alpha指定。

def train_pytorch_ch7(optimizer_fn, optimizer_hyperparams, features, labels,
                    batch_size=10, num_epochs=2):
    # 初始化模型
    net = nn.Sequential(
        nn.Linear(features.shape[-1], 1)
    )
    loss = nn.MSELoss()
    optimizer = optimizer_fn(net.parameters(), **optimizer_hyperparams)

    def eval_loss():
        return loss(net(features).view(-1), labels).item() / 2

    ls = [eval_loss()]
    data_iter = torch.utils.data.DataLoader(
        torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)

    for _ in range(num_epochs):
        start = time.time()
        for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):
            # 除以2是为了和train_ch7保持一致, 因为squared_loss中除了2
            l = loss(net(X).view(-1), y) / 2 
            
            optimizer.zero_grad()
            l.backward()
            optimizer.step()
            if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:
                ls.append(eval_loss())
    # 打印结果和作图
    print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))
    plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)
    plt.xlabel('epoch')
    plt.ylabel('loss')

train_pytorch_ch7(torch.optim.RMSprop, {'lr': 0.01, 'alpha': 0.9},
                    features, labels)

输出：

loss: 0.243676, 0.043637 sec per epoch

小结

• RMSProp算法和AdaGrad算法的不同在于，RMSProp算法使用了小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均来调整学习率。