pytorch学习笔记（三十七）：Adam

Adam算法

Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。

所以Adam算法可以看做是RMSProp算法与动量法的结合。

1. 算法

Adam算法使用了动量变量 $\boldsymbol{v}_t$和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量 $\boldsymbol{s}_t$，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数 $0 \leq \beta_1 < 1$（算法作者建议设为0.9），时间步 $t$的动量变量 $\boldsymbol{v}_t$即小批量随机梯度 $\boldsymbol{g}_t$的指数加权移动平均：

$\boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t.$

和RMSProp算法中一样，给定超参数 $0 \leq \beta_2 < 1$（算法作者建议设为0.999），
将小批量随机梯度按元素平方后的项 $\boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t$做指数加权移动平均得到 $\boldsymbol{s}_t$：

$\boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t.$

由于我们将 $\boldsymbol{v}_0$和 $\boldsymbol{s}_0$中的元素都初始化为0，
在时间步 $t$我们得到 $\boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_i$。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 $(1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} = 1 - \beta_1^t$。需要注意的是，当 $t$较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当 $\beta_1 = 0.9$时， $\boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}_1$。为了消除这样的影响，对于任意时间步 $t$，我们可以将 $\boldsymbol{v}_t$再除以 $1 - \beta_1^t$，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中，我们对变量 $\boldsymbol{v}_t$和 $\boldsymbol{s}_t$均作偏差修正：

$\hat{\boldsymbol{v}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t},$

$\hat{\boldsymbol{s}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}.$

接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量 $\hat{\boldsymbol{v}}_t$和 $\hat{\boldsymbol{s}}_t$，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：

$\boldsymbol{g}_t' \leftarrow \frac{\eta \hat{\boldsymbol{v}}_t}{\sqrt{\hat{\boldsymbol{s}}_t} + \epsilon},$

其中 $\eta$是学习率， $\epsilon$是为了维持数值稳定性而添加的常数，如 $10^{-8}$。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用 $\boldsymbol{g}_t'$迭代自变量：

$\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}_t'.$

2. 从零开始实现

我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步 $t$通过hyperparams参数传入adam函数。

%matplotlib inline
import math
import torch
from torch import nn
import time 
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
sys.path.append("..") 
import d2lzh_pytorch as d2l

features, labels = d2l.get_data_ch7()

def init_adam_states():
    v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.data
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1

def train_2d(trainer):  
    x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0  
    results = [(x1, x2)]
    for i in range(20):
        x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
        results.append((x1, x2))
    print('epoch %d, x1 %f, x2 %f' % (i + 1, x1, x2))
    return results

def show_trace_2d(f, results):  
    plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
    x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(-5.5, 1.0, 0.1), np.arange(-3.0, 1.0, 0.1))
    plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
    plt.xlabel('x1')
    plt.ylabel('x2')

定义训练模型

def linreg(X, w, b):
    return torch.mm(X, w) + b

def squared_loss(y_hat, y): 
    # 注意这里返回的是向量, 另外, pytorch里的MSELoss并没有除以 2
    return ((y_hat - y.view(y_hat.size())) ** 2) / 2

def train_ch7(optimizer_fn, states, hyperparams, features, labels,
              batch_size=10, num_epochs=2):
    # 初始化模型
    net, loss = linreg, squared_loss
    
    w = torch.nn.Parameter(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(features.shape[1], 1)), dtype=torch.float32),
                           requires_grad=True)
    b = torch.nn.Parameter(torch.zeros(1, dtype=torch.float32), requires_grad=True)

    def eval_loss():
        return loss(net(features, w, b), labels).mean().item()

    ls = [eval_loss()]
    data_iter = torch.utils.data.DataLoader(
        torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)
    
    for _ in range(num_epochs):
        start = time.time()
        for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):
            l = loss(net(X, w, b), y).mean()  # 使用平均损失
            
            # 梯度清零
            if w.grad is not None:
                w.grad.data.zero_()
                b.grad.data.zero_()
                
            l.backward()
            optimizer_fn([w, b], states, hyperparams)  # 迭代模型参数
            if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:
                ls.append(eval_loss())  # 每100个样本记录下当前训练误差
    # 打印结果和作图
    print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))
    plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)
    plt.xlabel('epoch')
    plt.ylabel('loss')

使用学习率为0.01的Adam算法来训练模型。

train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels)

输出：

loss: 0.245370, 0.065155 sec per epoch

3. 简洁实现

通过名称为“Adam”的优化器实例，我们便可使用PyTorch提供的Adam算法。

def train_pytorch_ch7(optimizer_fn, optimizer_hyperparams, features, labels,
                    batch_size=10, num_epochs=2):
    # 初始化模型
    net = nn.Sequential(
        nn.Linear(features.shape[-1], 1)
    )
    loss = nn.MSELoss()
    optimizer = optimizer_fn(net.parameters(), **optimizer_hyperparams)

    def eval_loss():
        return loss(net(features).view(-1), labels).item() / 2

    ls = [eval_loss()]
    data_iter = torch.utils.data.DataLoader(
        torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)

    for _ in range(num_epochs):
        start = time.time()
        for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):
            # 除以2是为了和train_ch7保持一致, 因为squared_loss中除了2
            l = loss(net(X).view(-1), y) / 2 
            
            optimizer.zero_grad()
            l.backward()
            optimizer.step()
            if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:
                ls.append(eval_loss())
    # 打印结果和作图
    print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))
    plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)
    plt.xlabel('epoch')
    plt.ylabel('loss')

d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adam, {'lr': 0.01}, features, labels)

输出：

loss: 0.242066, 0.056867 sec per epoch

小结

• Adam算法在RMSProp算法的基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。
• Adam算法使用了偏差修正。