基于MATLAB和python输出曼德勃罗集

上帝的指纹——曼德勃罗集

曼德勃罗集可称是人类有史以来做出的最奇异、最瑰丽的几何图形，被人称为“上帝的指纹”、“魔鬼的聚合物”。这个点集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C
，对于非线性迭代公式Zn+1=(Zn)^2+C，所有使得无限迭代后的结果能保持有限数值的复数C的集合，构成曼德勃罗集。

上帝的指纹——曼德勃罗集

简介

这是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是曼德勃罗特教授在二十世纪七十年代发现的.
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你看上图中,有的地方像日冕,有的地方像燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性.曼德勃罗特教授称此为"魔鬼的聚合物".为此,曼德勃罗特在1988年获得了"科学为艺术大奖".
图形是由美国数学家曼德勃罗特教授于1975年夏天一个寂静的夜晚，在冥思苦想之余翻看儿子的拉丁文字典是想到的，起拉丁文的原意是"产生无规则的碎片"。主要用运了分形理论和时间逃逸算法（能力有限，看不懂0.0）

MATLAB实现

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代码

xc = 0;  %图片中心点
yc = 0;
xoom = 1;   %放大倍数
res = 3000;   %分辨率
iter = 300;   %序列项数

x0 = xc - 2 / xoom;
x1 = xc + 2 / xoom;
y0 = yc - 2 / xoom;
y1 = yc + 2 / xoom;

x = linspace(x0, x1, res);
y = linspace(y0, y1, res);
[xx, yy] = meshgrid(x, y);
C = xx + yy * 1i;
z = zeros(size(C));
N = uint8(zeros(res, res, 3));

color = uint8(round(rand(iter, 3) * 255));

for k = 1: iter
    z = z.^2 + C;
    [row, col] = find(abs(z) > 2);
    k1 = zeros(size(row)) + 1;
    k2 = zeros(size(row)) + 2;
    k3 = zeros(size(row)) + 3;

    p1 = sub2ind(size(N), row, col, k1);
    N(p1) = color(k, 1);
    p2 = sub2ind(size(N), row, col, k2);
    N(p2) = color(k, 2);
    p3 = sub2ind(size(N), row, col, k3);
    N(p3) = color(k, 3);
    z(abs(z) > 2) = 0;
    C(abs(z) > 2) = 0;
end
imshow(N);
imwrite(N, 'test.png');

Python实现

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代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def iterator(c,r,max_iter):#定义逃逸时间函数，c为初始值，r为收敛半径，max_iter为最大迭代次数，返回逃逸时间
    z=c #初始值
    for iter in range(0,max_iter,1):
        if abs(z)>r:break
        z=z**2+c
    return iter

def plot_mandelbrot(): #定义绘制mandelbrot图像
    X=np.linspace(-1.75,1.05,5000) #实部范围，5000这个数要量力而行
    Y=np.linspace(-1.25,1.25,5000) #虚部范围，5000这个数要量力而行
    real,image=np.meshgrid(X, Y) #生成网格点坐标矩阵。
    c=real+image*1j #构造复数
    mandelbrot_set = np.frompyfunc(iterator, 3, 1)(c, 1.5, 100).astype(np.float) #frompyfunc(func, nin, nout)，其中func是需要转换的函数，nin是函数的输入参数的个数，nout是此函数的返回值的个数,frompyfunc把Python里的函数（可以是自写的）转化成ufunc
    plt.figure(dpi=500) #dpi设置分辨率尽可能高，细节显示更炫
    plt.imshow(mandelbrot_set,extent=[-1.35, 1.35, -1.25, 1.25]) #extent用来调节显示框大小比例
    #plt.axis('off') #是否显示坐标轴
    plt.show()

if __name__=="__main__":
    plot_mandelbrot()

总结

由于曼德勃罗集是由不断迭代所产生，所以如果生成无限放大的图片，需要增大分辨率，这是比较烧CPU的，建议电脑配置高的，尝试提高分辨率，不然电脑会卡死（本人深有体会 555，在Pycharm上提高分辨率，电脑会卡死；而在matlab中还没有发现卡死的情况），而且如果生成高分辨率的图像，所需要的的时间会让你崩溃。
生成高分辨率图像后，可以使用Ps或Pr、XaoS等其他软件进行处理放大，做出连续放大的视频。