【C++】动态规划，博客摘抄

动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。

有n级台阶，一个人每次上一级或者两级，问有多少种走完n级台阶的方法。

分析：动态规划的实现的关键在于能不能准确合理的用动态规划表来抽象出 实际问题。在这个问题上，我们让f(n)表示走上n级台阶的方法数。

那么当n为1时，f(n) = 1,n为2时，f(n) =2,就是说当台阶只有一级的时候，方法数是一种，台阶有两级的时候，方法数为2。那么当我们要走上n级台阶，必然是从n-1级台阶迈一步或者是从n-2级台阶迈两步，所以到达n级台阶的方法数必然是到达n-1级台阶的方法数加上到达n-2级台阶的方法数之和。即f(n) = f(n-1)+f(n-2)，我们用dp[n]来表示动态规划表，dp[i],i>0,i<=n,表示到达i级台阶的方法数。
 

/*dp是全局数组，大小为n,全部初始化为0，是题目中的动态规划表*/
int fun(int n){
	if (n==1||n==2)
		return n;
	/*判断n-1的状态有没有被计算过*/
	if (!dp[n-1])
		dp[n-1] = fun(n-1);
	if(!dp[n-2])
		dp[n-2]=fun(n-2);
	return dp[n-1]+dp[n-2];
}

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。 

数字三角形坐标化。可以用二维数组存储。

“7”为起点，按照要求 （路径上的每一步都只能往左下或 右下走。）下一步“3”或者“8”。

类推D（r，c）下一步走D（r+1，c）D（r+1，c+1），使得路径上所经过的数字之和最大=sum（r，c）。

代码实现：

#include <iostream>  
#include <algorithm> 
using namespace std;
 
#define MAX 101
  
int D[MAX][MAX];    
int n;  
int maxSum[MAX][MAX];
 
int MaxSum(int i, int j){      
	if( maxSum[i][j] != -1 )         
		return maxSum[i][j];      //遇到重复的不再计算
	if(i==n)   
		maxSum[i][j] = D[i][j];     
	else{    
		int x = MaxSum(i+1,j);       
		int y = MaxSum(i+1,j+1);       
		maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];     // max(x,y)函数
	}     
	return maxSum[i][j]; 
} 
int main(){    
	int i,j;    
	cin >> n;    
	for(i=1;i<=n;i++)   
		for(j=1;j<=i;j++) {       
			cin >> D[i][j];       
			maxSum[i][j] = -1;   //标志
		}    
	cout << MaxSum(1,1) << endl; 
} 

关于重复计算处理：第二行“3”，“8”，第三行“8”，“1”，“0”，【3，8】、【3，1】、【8，1】，【8，0】，“1”计算两次。当第n行时，时间复杂度将更大。

虽不是最优，也有经典之处。