Arithmetic circuit

对于只有加法门和乘法门的arithmetic circuit，可将其理解为是“一系列的乘法门+一系列表示gate输入输出关系的linear consistency equations”。

一个 arithmetic circuit 可理解为是一个有向无环图，其中每个顶点称为gate。in-degree为0的gate为circuit的输入，可表示为 $a_i$或者a constant field element。其它的gate可标示为 $+$或 $\times$。

对于 fan-in 2 circuits，其所有 $+$门和 $\times$门均具有 in-degree 2。

任何可表述为有向无环图的circuit均可转换为：
“一系列的乘法门+一系列表示gate输入输出关系的linear consistency equations”。

• 首先，需要将arithmetic circuit $A$ 中的加法门和常量乘法门替换为：
  bilinear consistency equations on the inputs and outputs of the remaining gates
  从而保证这些equations的satisfiability与原始circuit的satisfiability等同。
  假设 $B$为 $A$的sub-circuit， $B$中包含了一个乘法门之前的所有wires和gates。 $B$ 有 $m$ 个input wires和 $n$ 个output wires。这 $m$ 个inputs可以单位向量表示 $\vec{e}_i=(0,\cdots,1,\cdots,0)$，其中 $i\in[1,m],|\vec{e}_i|=m$ 。
  – 对于每个加法门，其input表示为 $\vec{x},\vec{y}$，其output表示为 $\vec{x}+\vec{y}$。
  – 对于每个常量乘法门，其input表示为 $\vec{x}$和常量 $c$，其output表示为 $c\vec{x}$。
  以此执行， $B$ 的 $n$个output均可以length为 $m$的向量来表示linear combinations of the inputs。
  最多需要 $m|B|$ 个arithmetic operations。注意， $B$的所有output均为linear combinations of the inputs，所以 $B$可表示为具有 $n(2m-1)$ 个 fan-in 2 gates，使得consistency equations可直接从circuit description中获取。
  注意，形如 $\sum_{i=1}^{m}a_ix_i$的linear combination，可由 $m$个常量乘法门和 $m-1$ 个加法门组成。

• 其次，将 $B$的gates 从 $A$ 中移除，同时移除 any multiplication gates whose inputs are the inputs of the new circuit。

• 重复以上过程，知道找出所有的consistency equations。repeat the process of finding consistency equations until we have considered the whole of $A$。

注意，circuit $A$的第一个（input）和最后一个（output）sub-circuit需要增加额外操作。
以 output sub-circuit为例（input sub-circuit类似）：

• 假设 $B$为the output sub-circuit，其 $m$个input表示为 $\vec{a}=(a_1,\cdots,a_m)^T$， $n$个output表示为 $\vec{b}=(b_1,\cdots,b_n)^T$。
  其中，每个output $b_i$均可表示为 $\sum_{j=1}^{m}q_{ij}a_j+p_i$，所有的可表示为：
  $\vec{b}=\mathbf{Q}\vec{a}+\vec{p}$
  其中 $\mathbf{Q}$为 $n\times m$矩阵， $\vec{p}$为size为 $n$的列向量。
  假设矩阵 $\mathbf{Q}$的rank为 $r$，则可将 $\mathbf{Q}$ reduce 为 row echelon form $\mathbf{R}$，可表示为：
  $\vec{b}''=\mathbf{R}\vec{a}$

附注：

• 所谓matrix rank是指：通过行列式转换，非零行的数量。matrix的rank最大可能值为 $min(m,n)$。
• 所谓row echelon form matrix是指：通过行列式转换，将矩阵左下角的所有元素均表示为0的过程。
  

参考资料：
[1] How to Reduce a Matrix to Row Echelon Form
[2] Bootle和Groth等人2016年论文《Efficient Zero-Knowledge Arguments for Arithmetic Circuits in the Discrete Log Setting》
[3] matrix rank