4.1 关系数据库的基本概念
4.1.1 关系的形式化定义
1.关系的集合表示
关系：元祖的集合。每个属性都有其相应的域（Domain）
定义：域D1,D2,...,Dn上的关系（Ralation）就是笛卡尔积D1×D2×...×Dn的子集，用R（D1,D2,...,Dn）来表示，这里的R表示关系名，n称为关系的目（或者是度Degree），其中：R
⊆ D1×D2×...×Dn。关系成员为元祖，即（d1,d2,...,dn）。
（1）关系的特点：
1）关系可以看做行和列交叉组成的二维表。它表示的是一个实体集。
2）一行为一个元祖，用于表示一个实体。
3）表中的列称为属性，每一列有且仅有一个属性名。
4）列的取值范围称为域。
5）表中任意两行不能相同（即不可出现重复元祖）。能唯一标识表中不同行的属性或属性组称为键。
（2）关系的性质
1）属性为原子属性，不可分解。
2）不可以有重复的元祖
3）行序和列序无意义（有时候为了方便会添加列序）
（3）键的种类
1）超键：在一个关系中，能唯一标识元祖的属性或属性集。
2）候选键：如果一个属性或属性集能够唯一标识元祖，而且又不含多余的属性。
3）主键：能够唯一标识元祖的属性或属性集中所选取的键。
4）外键：用于联系表与表之间的关系的键。
2. 关系的一阶谓词表示
R={ t | P(t) },表示所有使谓词P为真的元祖t（其中t为个体变元）都属于关系R。
4.1.2 关系模式、关系子模式和存储模式
1. 关系模式：对关系的描述。形式：R（A1,A2,...,An）
2. 关系子模式
3. 存储模式
4.1.3 关系模型的完整性规则
1.实体完整性规则
2.参照完整性规则
3.用户定义的完整性规则
4.2 关系代数
4.2.1 关系代数的五个基本操作：选择σ、投影π、笛卡尔积×、并∪、差-。
1.并运算：R∪S = {t | t ∈ R ∨ t ∈ S}，t为元祖变量。
2.差运算：R - S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S }
3.笛卡尔积：R × S = { t | t = <t(n),t(m)>∧t(n)∈R∧t(m) ∈ S}（其中t(n)表示t有n个分量，t(m)也是一样）
4.选择运算：σc(R) = { t | t ∈ R ∧ C[ t ] = True }（其中C为逻辑条件表达式）
C（逻辑条件表达式）的组成规则：
①α θ β 其中：α和β为属性名或常量，但不可以同时为常量。θ为比较运算符。（>,<,<=,>=,=,!=）。
②若干基本逻辑条件由∧、∨、非构成的复合逻辑条件。
5.投影运算：πAi1,Ai2,...,Ain(R) = {t | t = < ti1 , ti2 , ... , tim > ∈ R }
4.2.2 关系代数的组合操作
1.交运算：R ∩ S = {t | t ∈ R ∧ t ∈ S }，t是元祖变量
R ∩ S = R - （R - S）或 R ∩ S = S - （S - R）
2.连接运算
（1）条件连接：二目运算、又叫θ链接，用于将两个关系合并成一个关系。
（2）自然连接（Natural Join）：二目运算，是θ连接的一种特例， 首要条件：它们必须有公共属性且值域必须相同。
R 自然连接 S =
∏
i1,i2,...im(σR.B1 = S.B1
∧S.B2∧...∧R,Bn = S.Bn(R × S ))
（3）半连接：（SemiJoin）：R 半连接 S（R.A = S.B）= ∏ R（R 连接 S（R.A = S.B））
3.除法运算（Division）:条件：①R中包含S中的属性 ②R中有些属性不出现在S中。
T（Quotient） = R ÷ S
T中属性由R中不出现在S中的属性组成，其元祖则是S中所有元祖在R中对应的那些元祖值。
4.3 关系演算
4.3.1 元祖关系演算：
并：R ∪ S = {t | R（t）∨ S（t）}
差：R - S = {t | R（t）∧ 非S（t）}
选择：σF（R） = {t | R（t） ∧ F'}，其中F'是条件表达式F的谓词演算表示形式。
投影：∏ i1,i2, ... ,ik（R） = {t（k）| （存在u）（R（u）∧ t[1] = u[i1] ∧ ... ∧t[k] = u[ik]）}
笛卡尔积：R × S = {t（r+s）|（存在u（t））（存在v（s）（R（u）∧S（v）∧ t[1] = u[1] ∧ ... ∧t[r] = u[r]∧t[r+1] = v[1]）∧ ... ∧ t[r + s] = v[s]）}
4.3.2 域关系演算
4.4 关系查询优化
4.4.1 查询优化的一般策略
1）尽早地执行一目运算（如选择、投影）
2）将先做笛卡尔积和选择结合起来，使之成为一个连接运算
3）同时计算一串选择和投影运算，以免分开运算而多次扫描文件
4）找出表达式中的公共子表达式
5）适当的预处理
6）将投影同前面的双目运算相结合。没有必要为了去掉一个或某几个属性而扫描一遍关系
4.4.2 关系代数优化
1.表达式的求值
2.关系代数的等价变换规则
（1）连接和笛卡尔积的交换律
E1 连接（F条件表达式） E2 = E2 连接（F条件表达式） E1
E1 连接 E2 = E2 连接 E1
E1 × E2 = E2 × E1
（2）连接和笛卡尔积的结合律
（E1 连接（F1）E2） 连接（F2）E3 = E1 连接（F1）（ E2 连接（F2）E3）
（E1 连接 E2） 连接 E3 = E1 连接（ E2 连接 E3）
（E1 × E2） × E3 = E1 × （E2 × E3）
（3）投影的串接
设L1,L2, ... ,Ln 为属性集，并且L1 ⊆ L2 ⊆ ... ⊆ Ln，则下式成立：
∏ L1（∏ L2（...（∏ Ln（E）））） = ∏ L1 （E）
（4）选择的串接
σF1（σF2（E）） = σF1∧F2（E）
（5）选择与投影的交换
如果条件F仅涉及属性A1,...,An，则下式成立：
∏ A1,...,An（σF（E）） = σF（∏ A1,...,An（E））
更一般地，如果条件F涉及不在A1, ... ,An 中出现的B1, ... ,Bm，那么下式成立：
∏ A1,...,An（σF（E）） = ∏ A1,...,An（σF（∏ A1,...,An（E）））
（6）将选择移入笛卡尔积
σF（E1 × E2） = σF（E1）× E2 （F涉及的属性都在E1中）
σF（E1 × E2） = σF（E1） ×σF（E2） （F = F1 ∧ F2，F1 涉及 E1，F2 涉及 E2）
σF（E1 × E2）= σF2（σF1（E1）× E2） （F = F1 ∧ F2，F1 涉及 E1，F2 涉及 E1和E2）
（7）选择与并运算交换
如果有表达式 E = E1 ∪ E2，设在E1中出现的属性名与E2相同，下式成立：
σF（E1 ∪ E2） = σF（E1）∪ σF（E2）
（8）选择与差运算交换
σF（E1 - E2）= σF（E1）- σF（E2） （E1和E2具有相同的属性名）
（9）投影移入笛卡尔积
设A1, ... ,An是E中所出现的属性，而B1, .... ,Bm是E2中所出现的。下式成立：
∏ A1,...,An,B1, ... ,Bn（E1 ∪ E2） = ∏ A1,...,An（E1） × ∏ B1,...,Bn（E2）
（10）投影移入并运算
∏ A1,...,An（E1 ∪ E2） = ∏ A1,...,An（E1） ∪ ∏ A1,...,An（E2）
3.代数优化算法