刷题系列——贪心

New Year Snowmen

Description

要堆起一个雪人，需要三个不同大小的雪球。现在有 $n$ 个给定大小的雪球，问最多能堆起多少个雪人，并输出方案。

Solution

每次用数量最多的三个雪球是最优的。可以用一个单调队列，每次取出最大的三个数，再把余下的丢回队列。

Discounts

Description

超市打折，如果购物车里有至少一个凳子，则可半价购买购物车里最便宜的一个物品。现在你要购买 $n$ 个物品，其中一些是凳子。你有 $k$ 个购物车，求一个最优的购买方案，使得花费的价格最少。

Solution

每个购物车的凳子只能优惠价格低于它的，那么优惠它自己是最优的。所以将价格最大的 $k-1$ 个凳子放入前 $k - 1$ 个购物车，余下的购物车放全部的其他物品。

叠罗汉

Description

有 $n$ 个罗汉，每个罗汉有重量 $w$ 和力量 $s$ 。定义一个罗汉的危险值为他上面所有罗汉的重量之和减去他的力量。安排一个顺序使得危险值最大的罗汉的危险值最小。

Solution

如果已经有一个排列，可以对这个排列相邻两个罗汉 $i$ 和 $j$ 进行调整， $i$ 和 $j$ 交换不会影响他们上下的人，所以考虑 $i$ 和 $j$ 哪个在上面最优，因为要让最大值最小，分类讨论两人的危险值或感性猜测，可发现让两个罗汉中 $w+s$ 更小的在上面。最后调整的结果就是将所有罗汉按 $w + s$ 从小到大排序。

建筑抢修

Description

基地里有 $n$ 个建筑设施受到了严重的损伤，但只有一个修理工人。修复一个建筑都需要 $t_i$ 的时间，工人一次只能修一个。如果某个建筑在 $d_i$ 时间之内没有修理完毕，这个建筑就报废了。你的任务是制订一个合理的维修顺序，以抢修尽可能多的建筑。

Solution

若第 $i$ 号出现时间不足，那么前 $i$ 个建筑中最多修复 $i-1$ 个建筑。必然选择 $t_i$ 较小的前 $i-1$ 个建筑，给后面的修复留下更多的时间。按 $d$ 从小到大排序，中途用堆维护 $t_{max}$ 。如果能修第 $i$ 个建筑，那么就修，不然从堆中取出所需时间 $t$ 最大的，如果 $t_{max} > t_i$ 就不修 $max$ 而修 $i$ 。

反悔性贪心

先能选就选，用堆维护代价最大的，如果不能选看看它能不能替换堆中代价最大的。

密码锁

Description

给定 $a[1 \sim n], a_i \in [0,m-1]$ ，每次操作可以在模 $m$ 意义下对任意一个区间 $[l,r]$ 整体 $+1$ 或 $-1$ ，求最少几次操作可以使所有数字变成0。

Solution

在 $n$ 个数前后补上 $0$ ，进行在模意义下的差分，有差分数组 $b$ ，在模意义下的区间加减转为选择一位 $+1$ ，另一位 $-1$ 。要让 $b$ 全为 $0$ 或 $m$ ，先对 $b$ 从小到大排序。枚举找到一个分界点 $mid$ ，让 $mid$ 左边的数尽可能接近 $0$ ， $mid$ 右边的数尽可能接近 $m$ ，用 $mid$ 左边的数 $+1$ ，右边的数 $-1$ 互相抵消。如果有多余的，可以贪心地控制多余的数尽可能的接近前缀 $0$ 或后缀 $0$ ，就可以自己消自己了。
$ans = max\{ \sum_{i = 1} ^ {mid} b_i, \sum_{i = mid + 1} ^ {n} m - b_i\}$

这个式子可以用前缀和预处理搞定。

删数问题

Description

给定一个大正整数 $S$ 你需要去掉其中任意 $n$ 位数字。剩下的数字按原次序组成一个新的正整数 $S’$ 。对给定的 $n$ 和 $S$ ，寻找一种方案使得剩下的数字组成的新数 $S’$ 最小。

Solution

要让高位尽可能小。先在数字最后一位补一个 $-1$ ，输出时忽略掉 $-1$ 。然后从高位向低位枚举，如果在某一个位置数字是递减的，那么将这个位置删掉。如 $S = 178543,n = 4$ ，删除如下

$178543 \quad \{ 8 \}$ $\to$ $17543\quad\{ 7 \}$ $\to$ $1543\quad\{ 5 \}$ $\to$ $143\quad\{ 4 \}$ $\to$ $13$

如果不够删 $n$ 个回头重来。

取数游戏

Description

给出 $n$ 个正整数，你需要把它们连接成一排，组成一个最大的多位整数。

Solution

重载 $<$ 的定义，如果 $a$ 与 $b$ 拼接比 $b$ 与 $a$ 拼接大，就认为 $a > b$ 。按照重载的小于号从小到大排序即可。如 $12$ 和 $121$ ，虽然数学中 $121 > 12$ ，但是因为 $12121 > 12112$ ，所以 $12 > 121$ 。

Main Sequence

Description

定义幸运数列：空序列是幸运序列。如果 $S$ 为幸运数列，有一个正整数 $k$ ，那么 $\{k, S, -k\}$ 也是幸运序列。如果 $S$ 和 $T$ 都是幸运序列，那么 $\{S+T\}$ 也是幸运序列。现在给你一个有 $n$ 个元素的序列每个数的绝对值，同时有 $m$ 个限制，每个限制为数列的第 $i$ 个数一定为负数。请你求出这个幸运数列。

Solution

这道题就是一个括号匹配， $k$ 可以看作是左括号， $-k$ 可以看作是右括号。因为 $m$ 个右括号已经确定了，所以我们从后往前扫这个序列。相似的，我们用栈来维护右括号，对于每个数有两种情况，如果他是 $m$ 个数之一或者不能与栈顶的右括号匹配，那么让他加入未匹配的右括号栈中，否则我们将栈顶的数退栈，表示匹配成功。如果将序列扫完栈不为空，则匹配失败。

兔子和樱花

Description

给定一颗 $n$ 的点的有根树，每个点 $x$ 上面有一些樱花 $a_x$ ，设 $fa_x$ 为 $x$ 父亲， $son_{fa_x}$ 为父亲的儿子数。现在可以删掉一些节点，被删除的节点 $x$ 的樱花会累加到 $fa_x$ 上， $x$ 的子节点也会接到 $fa_x$ 上。要求删除完 $x$ 后， $a_{fa_x} + son_{fa_x} < m$ 。问最多能删多少个点。

Solution

从下向上进行树形 dp，对于每个点，删除的代价为 $c_i + son _i$ ，我们对于每个点尽可能多地从小到大删它的儿子。

Assassin Creed

Description

你是一个刺客，有把耐久度为 $M$ 的刀，你要杀死 $N$ 个敌人，其中杀死第 $i$ 个敌人需要消耗 $A_i$ 点耐久度，但可以得到一把能杀死 $B_i$ 个敌人的武器（不消耗自己的耐久度）。问最多可以杀死多少个敌人。以及在这个前提下，最少需要消耗的耐久度。

Solution

先杀一个 $B_i > 0$ 中 $A_i$ 最小的人，借刀杀掉所有 $B_i > 0$ 的人，如果还有刀，就杀掉剩下 $A_i$ 最大的人。最后用自己的刀把 $A_i$ 尽可能小的一些人杀掉。但是还存在一种情况，对于 $B_i > 0$ 的人，不用敌人的刀杀死他而用自己的刀就有可能杀掉更多的人。
可能 $B_i > 0$ 的人 $A_i$ 都非常大，所以可能只能杀 $A_i$ 尽可能小的一些人。

打游戏

Description

Solution

先将 $n$ 个怪从小到大排序，然后依次打。如果场上最小怪的生命值为 $1$ 时能放群攻，就放群攻，如果怪的个数 $>2$ 能放群攻放群攻，如果只有两个怪且他们生命值 $\ge 2$ 时从小到打能放重击放重击。

DFS Spanning Tree

Description

给出一个没有自环的有向图。这个图的前 $n-1$ 条边构成这个图的一个以节点 $1$ 为根节点的 dfs 树。T-Simple 环的定义是：至多有一条边不在这棵树上的环。至少在图上选中多少条边。才使得每个 T-simple 环都至少有一条边被选中。

Solution

题目给出了是 dfs 序的树，可以发现，除了树上的边就只有返祖边。每条非树边都相当于在 dfs 生成树上划定了一条深度单调的链，问题转化为最少染色多少条边，可以使每条链上都至少有一条边被染色。

先考虑一个不在树上的子问题，有一个序列，现在有 $n$ 个限制条件。第 $i$ 个限制是， $L_i$ 到 $R_i$ 的这段区间内至少有一个位置被打标记。问至少要打几个标记。可以从左往右扫，对于每个没有标记的限制条件 $x$ 就贪心地在 $R_x$ 打一个标记。

那么这个问题就是把数列改成了一棵树，把限制放在树上，直接树形 dp 即可。

乐曲创作

Description

给你一个 $n$ 个数的排列 $a[1 \sim n]$ ，设它有 $m$ 个逆序对。现在要求找出字典序大于原序列最小的排列，使它逆序对的个数也等于 $m$ 。

Solution

令 $b$ 为构造的数组，那么有一个 $p$ 满足 $a_{1 \sim p - 1} = b_{1 \sim p - 1}$ 且 $a_p \leq b_p$ 。最优的 $b$ 一定是在 $p$ 尽可能靠后的前提下， $i \in b_{[p + 1,n]} \ a_{i}$ 在 $a_{i-1}$ 尽可能小的前提下尽可能的小。

所以从后往前找到一个 $p$ ，首先满足他后面有至少一个比它大的数。其次，我们把一个数交换成比它大的最小的数，会造成多的逆序对，如果 $[p+1,n]$ 的数按照从小到大排列，那么 $[1,n]$ 的逆序对个数最少，在最少的情况下，逆序对总数还 $> m$ ，那么我们就只能放弃这个 $p$ 去枚举之前的 $p$ 。否则，我们一定有策略让 $[1,n]$ 的逆序对总数 $=m$ 。可以证明，对于第二个限制，只要 $[p+1, n]$ 中有至少一个逆序对，那么一定有策略让 $[1,n]$ 的逆序对总数 $=m$ 。

确定 $p$ 后， $b_{[1,p - 1]}$ 与 $a_{[1,p - 1]}$ 相同， $b_p$ 为 $a_{[p + 1, n]}$ 中 $>a_p$ 的最小的数，接下来要从 $p$ 往后做构造 $b_{[p + 1,n]}$ 。我们找到了 $p$ ，那么已经搞定了 $b$ 的字典序 $> a$ 的问题和无论如何安排数逆序对总数都 $> m$ 的问题，对于 $b_{[p + 1,n]}$ 的构造，要让越往前的位置安排的数尽可能的小，如果我们在 $i \in b_{[p + 1,n]} a_{i}$ 安排了一个 $<a_i$ 的数，那么逆序对总数会减少。如果 $[i+1,n]$ 按照从大到小排列，那么 $[1,n]$ 的逆序对个数最多，在最多的情况下，逆序对总数还 $<m$ ，那么我们要在位置 $i$ 安排一个大一点的数。

Shop

Description

现在有 $n$ 个数 $a_i$ 。有三种操作， $a_i = b$ ， $a_i + b$ 与 $a _i \times b$ ，其中 $i$ 和 $b$ 为给定参数。现在给你 $m$ 以上个操作，你能从中最多选出 $k$ 个并自行安排顺序，要求操作完后 $n$ 个数的乘积最大。

Solution

可以发现先进行 $a_i = b$ ，再进行 $a_i + b$ ，最后进行 $a_i \times b$ 是最优的。考虑将前两种操作转换成第三种。对于第一种操作通过 $b - a_i$ 转成第二种，第二种可以通过 $\frac{(a_i + b)}{a_i}$ 求出倍率。然后全部成为操作三了，从大到小排序求。这样做并不违背之前的规律，因为乘法的顺序和乘在哪个 $a_i$ 上是没关系的。但是输出的时候一定要按照先赋值再加最后乘的顺序。值得一提的是，对于同一个数的赋值保留最大的。

Color a tree

修理牛棚 Barn Repair

Description

有一排共 $n$ 个牛棚，有的牛棚有牛。请你用不超 $m$ 块木板盖住有牛的牛棚，木板长度自定。求最小木板长度和。

Solution

逆向思维贪心。用一个长度为 $n$ 的木板盖住所有的牛棚，可以发现盖了没有牛的牛棚，于是我们可以删一段木板，每删一段木板，木板数会多一个，所以可以删 $m - 1$ 次木板。删木板根据贪心思想，删去长度要尽可能的长，但还不能将有牛的牛棚删掉。所以我们可以将所有的没有牛的牛棚找出来，将每个连续的一段的长度排序，从大到小删即可。

Bohater

Description

你需要打败 $n$ 只怪物。打败第 $i$ 只怪物需要消耗 $d_i$ 点生命值，但怪物死后会掉落血药，使你恢复 $a_i$ 点生命值。任何时候你的生命值都不能降到零及以下。求是否存在打怪顺序，使得你可以打完这 $n$ 只怪物而不死掉。

Solution

为了打更多的怪，我们想办法先回血，而且先回尽可能多的血，不过想先回血要先消耗生命值。那么将打怪消耗的血量从小到大排序，将能打的怪用一个堆维护，优先取出回血多的怪，打完一个怪后看看能不能加一些怪进堆。

护花

Description

有 $n$ 只牛，第 $i$ 头每分钟吃 $d_i$ 朵花，可以让第 $i$ 头牛不吃花，但过 $2 \times t_i$ 分钟后才能让下一头牛不吃花，求牛最少吃多少花。

Solution

将 $t_i \times 2$ ，考虑相邻的两头牛交换顺序，第一头在第二头前面为 $d_1 + d_2 \times t1$ ，第二头在第一头前面为 $d_1 \times t_2 + d_2$ ，如果前式小于后式，那么第一头排在第二头前面，所以自定义比较函数排个序。

优惠券

Description

有 $n$ 本书，第 $i$ 本书花费 $p_i$ 元，有 $k$ 张优惠券，一张优惠券可以让第 $i$ 本书降价到 $c_i$ 元，求 $m$ 元能买多少书。

Solution

考虑选哪 $k$ 本书使用优惠券，对于两本书，如果一本用优惠券另一本直接买，若第一本书用优惠券，那么花费为 $c_1 + p_2$ ，第二本书用优惠券花费为 $c_2 + p_1$ ，如果前式小于后式，那么第一本书用优惠券，移项的话成了 $p_1 - c_1 < p_2 - c_2$ ，所以将所有书按差值从小到大排序，选最小的 $k$ 本书用优惠券。还有钱的话将其他书的 $p_i$ 从小到大排序依次买。

奶酪工厂

Description

有 $n$ 个星期，第 $i$ 个星期生产一个单位奶酪花费 $c_i$ 分，多余生产的可以放在仓库，一个星期一个单位花 $S$ 分。第 $i$ 个星期需要 $a_i$ 个单位的奶酪，求最小花费。

Solution

要么全部生产，要么全部从仓库取，所以在仓库屯有史以来最便宜的货，即为维护最小值，取货时比较一下两个情况。

均分纸牌

Description

有 $n$ 堆纸牌，每堆有若干张，总和为 $n$ 的倍数。每次可以将任意张牌从一堆移到与它相邻的一堆。求最少移动多少次才能让每堆纸牌数目相同。

Solution

显然相邻两堆只用移动一次。可以发现左右的移动可以归于一个左边向右边移动可正负张纸牌，所以求前缀和和纸牌平均数。从头扫，假设扫到了第 $i$ 张纸牌，如果第 $i$ 张纸牌需要向右移动当且仅当到 $i$ 的前缀和不等于 $i \times$ 平均数。操作是可逆的，所以不存在第 $n$ 张牌不能向右移的尴尬。

扁鹊再世蔡徐坤

Linl