【通信工程】通信原理笔记（2）：确知信号

本篇为樊昌信，曹丽娜. 通信原理（第七版）[M]. 北京：国防工业出版社（2012）的笔记（2）：确知信号。

2. 确知信号

2.1 确知信号类型

按照是否具有周期重复性区分：周期信号：每隔一定的时间间隔按相同规律重复且无始无终。 $s(t) = s(t+T_0)$ ，满足上式的最小 $T_0$ 称为信号的基波周期。反之为非周期信号。
按照信号能量是否有限区分：

能量
$E=\int_{-\infty}^\infty s^2(t)dt$
功率
$P=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s^2(t)dt$
能量信号： $0<E<\infty$ 且 $P\to 0$ 。功率信号： $0<P<\infty$ 且 $E\to 0$

2.2 确知信号的频域性质

周期性功率信号的频谱：对于周期功率信号可展开为指数型傅里叶级数。

$s(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}C_ne^{\frac{j2\pi nt}{T_0}}$
其中傅里叶级数的系数
$C_n = C(nf_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)e^{-j2\pi n f_0 t}dt=|C_n|e^{j\theta_n}$
称为信号的频谱，反映了信号中各次谐波的幅度值 $|C_n|$ 和相位值 $\theta_n$ 。式中 $f_0=\frac{1}{T_0}$ 称为信号的基频。 $nf_0$ 称为信号的 $n$ 次谐波频率。 $n=0$ 时为直流分量。

周期功率信号频谱的性质：对于物理可实现的信号，正频率和负频率部分间存在复数共轭关系。 $C_n$ 的模偶对称，相位奇对称。
$C_{-n}=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) e^{+j 2 \pi n f_{0} t} d t=\left[\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) e^{-j 2 \pi n f_{0} t} d t\right]=C_{n}^{*}$
三角形式的傅里叶级数：

$s(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} \cos \left(2 \pi n t / T_{0}+\theta\right)\right]$

其表明：（1）实周期信号可分解为直流分量、基波和各次谐波分量的线性叠加。（2）振幅和相位称为单边谱。（3）频谱函数 $C_n$ 称为双边谱。若 $s(t)$ 是实偶信号，则 $C_n$ 为实函数。若 $s(t)$ 不是偶信号，则 $C_n$ 为复函数。

能量信号的频谱密度：能量信号的傅里叶变换与反演。
$S(f) = \int_{-\infty}^\infty s(t)e^{-j2\pi nft}dt\\ s(t) = \int_{-\infty}^\infty S(f)e^{j2\pi nft}df$
区别： $S(f)$ 是连续谱， $C_n$ 是离散谱。实能量信号频谱密度和实功率信号频谱的共同特性：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭。
** $\delta$ 函数的性质 **：（1）可用抽样函数的极限表示。

$\delta(t)=\lim_{k \to \infty} \frac{k}{\pi} \operatorname{Sa}(k t)$

（2）
$f\left(t_{0}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta\left(t-t_{0}\right) d t$

（3） $\delta$ 函数可以看作是单位阶跃函数的导数。

能量信号的能量谱密度：
$G(f) = |S(f)|^2$
能量Parseval定理：
$E=\int_{-\infty}^{\infty} s^{2}(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^{2} d f=\int_{-\infty}^{\infty} G(f) d f=2 \int_{0}^{\infty} G(f) d f$
功率信号的功率谱密度：
$P(f) = \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}|S_T(f)|^2$
$S_T(f)$ 为截断信号 $s_T(t)$ 的傅里叶变换。

功率Parseval定理：
$P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s^{2}(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} P(f) d f$

周期信号的Parseval定理：
$P=\sum_{n = -\infty}^{\infty}|C_n|^2$

周期信号的功率谱密度：

$P(f)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|C_{n}\right|^{2} \delta\left(f-n f_{0}\right)$

2.3 确知信号的时域性质

能量信号的自相关函数：
$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)s(t+\tau)dt$

当 $\tau=0$ 时 $R(0)$ 等于信号的能量。 $R(\tau) = R(-\tau)$ 。 $R(\tau)$ 与 $|S(f)|^2$ 是一对傅里叶变换。

功率信号的自相关函数：
$R(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s(t) s(t+\tau) d t$

当 $\tau=0$ 时 $R(0)$ 等于平均功率。 $R(\tau) = R(-\tau)$ 。 $R(\tau)$ 与 $P(f)$ 是一对傅里叶变换。

能量信号的互相关函数：
$R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s_{1}(t) s_{2}(t+\tau) d t$
$R_{12}(\tau) = R_{21}(-\tau)$ 。 $R_{12}(\tau)$ 和 $S_{12}(f)$ 是一对傅里叶变换。
功率信号的互相关函数：

$R_{12}(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s_{1}(t) s_{2}(t+\tau) d t$

$R_{12}(\tau) = R_{21}(-\tau)$ 。 $R_{12}(\tau)$ 和 $C_{12}$ 是一对傅里叶变换。互功率谱： $C_{12} = (C_n)_1^\ast(C_n)_2$ 。