【通信工程】通信原理笔记（3）：随机过程

本篇为樊昌信，曹丽娜. 通信原理（第七版）[M]. 北京：国防工业出版社（2012）的笔记（3）：随机过程。

3. 随机过程

3.1 随机过程的基本概念

• 随机过程：所有样本函数 $\xi_i(t)$的集合或随机变量 $\xi(t_i)$的集合。

• 随机过程的分布函数：以一维为例， $F_1(x_1,t_1) = P[\xi(t_1)\leq x_1]$。

• 随机过程的数字特征：

  • 均值
    $E[\xi(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{1}(x, t) d x=a(t)$

  • 方差
    $D[\xi(t)]=E\left\{[\xi(t)-a(t)]^{2}\right\}=\sigma^2(t)$

  • 自相关函数
    $R\left(t_{1}, t_{2}\right)=E\left[\xi\left(t_{1}\right) \xi\left(t_{2}\right)\right]=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x_{1} x_{2} f_{2}\left(x_{1}, x_{2} ; t_{1}, t_{2}\right) d x_{1} d x_{2}$

  • 互相关函数
    $R_{\xi \eta}\left(t_{1}, t_{2}\right)=E\left[\xi\left(t_{1}\right) \eta\left(t_{2}\right)\right]$

3.2 平稳随机过程

• 严格平稳： 随机过程的统计特性与时间起点无关。 一维分布则与时间 $t$无关。二维分布只与间隔 $\tau$有关。

• 广义平稳：均值与时间 $t$无关，相关函数仅与 $\tau$有关。

• 遍历性：任一样本经历了平稳过程的所有可能状态。 这样统计平均值=时间平均值
  $a = \bar{a}\\ R(\tau) = \bar{R}(\tau)$
  平稳过程的自相关函数：平均功率 $R(0)=S$，直流功率 $R(\infty) = a^2$。交流功率 $R(0)-R(\infty) = \sigma^2$。偶函数： $R(\tau) = R(-\tau)$。上界 $|R(\tau)|\leq R(0)$。

• 平稳过程的功率谱密度（PSD）：

  • 样本的功率谱
    $P_{x}(f)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} \frac{\left|X_{T}(f)\right|^{2}}{T}$
  • 过程的谱密度
    $P_{i}(f)=E\left[P_{x}(f)\right]=\lim _{\tau \rightarrow \infty} \frac{E\left|X_{T}(f)\right|^{2}}{T}$
  • 平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换。（维纳-辛钦定理）
    $P_{\xi}(f)=\int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{-j 2 \pi f \tau} d \tau\\ R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} P_{\xi}(f) e^{j 2 \pi f \tau} d f$

• 性质：遍历过程任一样本的PSD=过程的PSD。 非负性： $P_\xi(\omega) \geq 0$。偶函数 $P_\xi(\omega) = P_\xi(-\omega)$。

3.3 高斯随机过程

• 高斯随机过程：若随机过程的任意n维分布都服从高斯分布，则称其为高斯过程。 性质：若广义平稳，则严格平稳。若互不相关，则统计独立。若干个高斯过程的代数和仍为高斯型。高斯过程的线性变换仍为高斯过程。

• 正态分布函数：
  $F(b)=P(x \leq b)=\int_{-\infty}^{b} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left[-\frac{(x-a)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right] d x$

• 误差函数：
  $erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t$

• 补误差函数：
  $\operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^{2}} d t = 1-erf(x)$
  误差函数的简明性有助于分析通信系统的搞噪声性能。

• 利用误差函数，可将 $F(x)$表示为：
  $F(x)=\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} e r f\left(\frac{x-a}{\sqrt{2} \sigma}\right),x \geq a\\ 1-\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\left(\frac{x-a}{\sqrt{2} \sigma}\right), x<a$

3.4 平稳随机过程通过线性系统

• 设 $h(t) \Leftrightarrow H(\omega)$

则有
$\xi_{0}(t)=\xi_{i}(t) * h(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \xi_{i}(\tau) h(t-\tau) d \tau$

	输入过程	输出过程
概率分布	平稳、高斯	平稳、高斯
均值	$a$	$a\cdot H(0)$
功率谱密度	$P_i(f)$	$P_o(f) =\|H(f)\|^2P_i(f)$
自相关函数	$R_i(\tau) \Leftrightarrow P_i(f)$	$R_o(\tau) \Leftrightarrow P_o(f)$

3.5 窄带随机过程

• 窄带条件： $\Delta f << f_c$且 $f_c >> 0$。

• 表达式：

  • 包络相位形式：
    $\xi(t)=a_{\xi}(t) \cos \left[\omega_{c} t+\varphi_{\xi}(t)\right], \quad a_{\xi}(t) \geq 0$
  • 同相正交形式：
    $\xi(t)=\xi_{c}(t) \cos \omega_{c} t-\xi_{s}(t) \sin \omega_{c} t$
    若知窄带过程的统计特性，则可确定同相/正交，包络/相位的统计特性，反之亦然。

• 同相和正交分量的统计特性：若窄带过程为均值 $0$，方差 $\sigma_\xi^2$的平稳高斯过程，则其同相分量、正交分量同样也是平稳、高斯的且均值为 $0$，方差相等 $\sigma_\xi^2 = \sigma_c^2 = \sigma_s^2$。并且 $R_{cs}(0)=0$。

  • 其包络服从瑞利分布：
    $f\left(a_{\xi}\right)=\frac{a_{\xi}}{\sigma_{\xi}^{2}} \exp \left[-\frac{a_{\xi}^{2}}{2 \sigma_{\xi}^{2}}\right] \quad\left(a_{\xi} \geq 0\right)$
  • 相位服从均匀分布
    $f\left(\varphi_{\xi}\right)=\frac{1}{2 \pi} \quad\left(0 \leq \varphi_{\xi} \leq 2 \pi\right)$

• 合成信号

$r(t)=A \cos \left(\omega_{\varepsilon} t+\theta\right)+n(t)=Z(t)\cos[\omega_c t + \varphi(t)]$

推导结果： $Z(t)$服从广义瑞利分布
$f(z)=\frac{z}{\sigma^{2}} \exp \left[-\frac{1}{2 \sigma^{2}}\left(z^{2}+A^{2}\right)\right] I_{0}\left(\frac{A z}{\sigma^{2}}\right), \quad z \geq 0$

其中 $I_0(x)$是零阶修正贝赛尔函数。当 $A \to 0$时， $f(z)$退化为瑞利分布，信噪比 $r$较大时 $f(z)$近似为高斯分布。下式中信号功率为 $A^2/2$，噪声功率为 $\sigma_\xi^2$。
$r=\frac{A^{2}}{2 \sigma_{\xi}^{2}}$

3.6 高斯白噪声和带限白噪声

• 白噪声：理想的宽带过程，其功率谱密度均匀分布在整个频率范围内。仅在 $\tau=0$（同一时刻）时才相关。其 $P_\xi(\omega) = \frac{n_0}{2}$， $R(\tau) = \frac{n_0}{2}\delta(\tau)$。

• 高斯白噪声：指概率分布服从高斯分布的白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间互不相关，统计独立的。

• 带限白噪声：白噪声通过带宽有限的信道或滤波器的情形。白噪声通过LPF：低通白噪声。白噪声通过BPF：带通白噪声。