CF1178F1 Short Colorful Strip

一、题目

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二、解法

设 $dp[l][r]$为现在还没有涂色，涂色完 $[l,r]$的方案数，关键是转移。

由于题目明说了染色是按颜色顺序从小到大，所以转移可以从这个区间最小的颜色入手，这个最小的颜色会把区间划分成 $4$部分（因为这个点染完就固定了，是不可跨越的，就达到了分裂区间的效果），转移枚举染色段的左端点 $i$和右端点 $j$，设最小的颜色位置是 $p$：
$dp[l][r]=dp[l][i-1]\times dp[i][p-1]\times dp[p+1][j]\times dp[j+1][r]$边界是 $l>r$，但是这样是 $O(n^4)$的，会超时。发现由于中间已经隔断了，左右两边是独立的，所以对于右边的所有情况需要枚举的左边情况都是相同的，所以先算左边，再用右边统计答案即可，这样就是 $O(n^3)$的了。

#include <cstdio>
#define int long long
const int M = 505;
const int MOD = 998244353;
int read()
{
    int x=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
    while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*flag;
}
int n,m,a[M],dp[M][M];
int dfs(int l,int r)
{
	if(l>r) return 1;
	if(dp[l][r]) return dp[l][r];
	int p=l,t=0;
	for(int i=l;i<=r;i++)
		if(a[i]<a[p]) p=i;
	for(int i=l;i<=p;i++)
		t=(t+dfs(l,i-1)*dfs(i,p-1)%MOD)%MOD;
	for(int i=p;i<=r;i++)
		dp[l][r]=(dp[l][r]+t*dfs(p+1,i)%MOD*dfs(i+1,r)%MOD)%MOD;
	return dp[l][r];
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	printf("%lld\n",dfs(1,n));
}