[ARC100F]Colorful Sequences

题目

题目背景
这是小游戏第几次 $AK$ 了呢？说也说不清了。想要数的话，就要回到电脑诞生之初，细数其 $AK$ 之数；就算上厕所也必须仔细盯梢，一不留神，他就已 $AK$ 了。是以世传之数多有出入，或曰一万万，或曰三万万；后来便成了一个永远不可能为人类所知的数字。

直到五万年后，约莫银河纪元 $2000$ 年时，其信众呼唤普林斯普的神威，于是取出上古圣器——彩虹之裂纹。他们据此推断小游戏 $AK$ 之数，并以此作为通往力量的钥匙……

题目描述
非普林斯普信众，可读给不可通晓者的糟粕。

彩虹之裂纹，共有 $k$ 种颜色。这 $k$ 远比 $7$ 要多，因为这彩虹的颜色，并非仅凡胎肉眼可见的 $7$ 色。他们要用 $n$ 个彩虹之裂纹，排成一列，使得存在连续的 $k$ 个彩虹之裂纹，颜色互不相同。

此外，有一个长度为 $m$ 的彩虹之裂纹的序列。它作为连续子序列，出现在上面排出的长度为 $n$ 的序列中 $1$ 次，就可以认为小游戏 $AK$ 之数多了 $1$ 次。注意，一个序列可以出现多次该序列，且出现位置有部分重叠；正如小游戏可以同时 $AK$ 多场。

那么，我们只需要知道所有可行的序列中，这个 $m$ 长度的序列的出现总次数即可。

数据范围与提示
$m⩽n⩽2.5\times 10^4$ 且 $k⩽400$ 。

思路

我好不容易快要想到正解一次，你却让我输的，这么彻底——哈哈哈哈哈——火卓！

从简单想起。称呼需要计算出现次数的序列是 $a$ 。假设我们只算 $a$ 出现次数，怎么算？枚举 $a$ 的位置就行。假设我们只看 $[1,k]$ 是否出现怎么算？用 $dp(i,j)$ 表示长度为 $i$ 的序列，后缀有 $j$ 个不同数字，很容易转移，因为 各个数字是等价的。

所以把二者缝合一下：枚举 $a$ 的位置之后，用 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 计算方案。于是我画了张图，很清楚地看到，完整的 “彩虹” 要么在左，要么在内，要么在右。所以分别求一下 $a$ 的前缀最长不同数字串、后缀最长不同数字串，然后往两边 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 下去就行。时间复杂度 $\mathcal{O}(nk)$ 。

可惜我犯了个致命的错误。不过现在说这些也真是可笑；究其根本，还是我太菜。而标杆只是静静地自己 $AK$，把别人不会的题都做对，然后不忘说一句：“承认自己强，很难吗？”

今天，我，$\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$，折戟于标杆之剑下，身死魂灭，为天下笑。虽曰人事，岂非天命哉！

这错误是什么呢？不要立刻相信画图，否则你就会知道 “所有三角形都是等腰” 了。我默认了 $m>k$，没想过，有可能 $a$ 整个被包含在 “彩虹” 内。这时候，两边会互相影响，所以原来的分别 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 之法行不通了。

那么该怎么办呢？前面说过，各个数字是等价的；所以，如果有一个长度为 $m$ 的子串，只知道其各个数字不相同时，共有 $x$ 种情况；那么它就是 $a$ 的数量则为 $\frac{(k-m)!}{k!}\cdot x$ 。这系数就是排列数 $A_k^m$ 的倒数。

于是用 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 统计所有的长度为 $m$ 的、数字互不相同的子串数量。最后除以那个系数就好了。时间复杂度仍然 $\mathcal{O}(nk)$ 。

如果能想到这个，很是厉害啊；我能隐约感觉到的 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ 就是 $a$ 的加入过程和 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 的过程很吻合，但终究是什么也没想出来。

代码

可以看出 whole 的部分是我后来拼接上去的。当然，这里就懒得用 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 数组中 $0/1$ 记录是否有 “彩虹” 出现过了；直接减去没出现的情况就行。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MOD = 1e9+7, MAXN = 25001, MAXK = 401;
inline llong qkpow(llong b,int q){
    
    
	llong a = 1;
	for(; q; q>>=1,b=b*b%MOD)
		if(q&1) a = a*b%MOD;
	return a; // [0,MOD)
}

int a[MAXN], n, k, m;
void getDP(int dp[MAXN][MAXK]){
    
    
	for(int i=1,s=0; i<=n; ++i,s=0){
    
    
		dp[i][k] = int((llong(k)*dp[i-1][k]+dp[i-1][k-1])%MOD);
		drep(j,k-1,1){
    
     // normal transfer
			s = (s+dp[i-1][j])%MOD; // suffix sum
			dp[i][j] = (s+llong(k-j+1)*dp[i-1][j-1])%MOD;
		}
	}
}

int zxy[MAXN][MAXK]; // f**k!!!
void eat_shit(int dp[MAXN][MAXK]){
    
    
	for(int i=1,s=0,s2=0; i<=n; ++i,s=0,s2=0){
    
    
		drep(j,k-1,1){
    
     // normal transfer
			s = (s+dp[i-1][j])%MOD; // suffix sum
			s2 = (s2+zxy[i-1][j])%MOD; // not end here
			dp[i][j] = (s+llong(k-j+1)*dp[i-1][j-1])%MOD;
			zxy[i][j] = (s2+llong(k-j+1)*zxy[i-1][j-1])%MOD;
			if(j >= m) zxy[i][j] = (zxy[i][j]+dp[i][j])%MOD;
		}
	}
}

int lv[MAXN][MAXK], rv[MAXN][MAXK];
bool vis[MAXK]; int lst[MAXK];
int main(){
    
    
	n = readint(), k = readint(), m = readint();
	bool self = false; ///< if itself "colorful"
	bool whole = true; ///< if no one appears twice
	for(int i=1,l=1; i<=m; ++i){
    
    
		a[i] = readint();
		l = max(l,lst[a[i]]+1);
		if(lst[a[i]]) whole = false;
		lst[a[i]] = i; // position
		if(i-l+1 == k) self = true;
	}
	int ans = 0;
	if(whole){
    
     // worst case!!!
		lv[0][0] = 1, eat_shit(lv);
		for(int i=1; i!=k; ++i) // invalid
			ans = (ans+zxy[n][i])%MOD;
		for(int i=k; i!=k-m; --i) // fuck it
			ans = int(ans*qkpow(i,MOD-2)%MOD);
		ans = int((qkpow(k,n-m)*(n-m+1)+MOD-ans)%MOD);
		printf("%d\n",ans); return 0;
	}
	
	int len = 1; // match length
	for(; len<=m&&!vis[a[len]]; ++len)
		vis[a[len]] = true; // put tag
	if(self) len = k+1; // assume it's on the left
	lv[0][len-1] = 1; getDP(lv); // for L
	
	memset(vis+1,false,k); // clear
	for(len=0; len!=m&&!vis[a[m-len]]; )
		vis[a[m-len]] = true, ++ len;
	rv[0][len] = 1; getDP(rv); // for R

	for(int l=0; l+m<=n; ++l){
    
    
		ans = int((ans+lv[l][k]*qkpow(k,n-l-m))%MOD);
		llong bad = (qkpow(k,l)+MOD-lv[l][k])%MOD;
		ans = int((ans+bad*rv[n-l-m][k])%MOD);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}