51nod 1675 (莫比乌斯反演)

我们先不考虑 $a_{b_i} = b_{a_j}$ 这种情况，那么就很裸的莫比乌斯反演了。
设 $f(x) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\gcd(i,j)==x]$
在设 $g(x) = \sum_{x|d}f(d)$
$=\sum_{x|d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\gcd(i,j)==d]$
$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[x|\gcd(i,j)]$
$=\sum_{x|i}^{n}\sum_{x|j}^{n}1$
就得到如上式子，
那如果在考虑 $a_{b_i} = b_{a_j}$这个因素，只需加一个限制条件
$f(x) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\gcd(i,j)==x][a_{b_i} = b_{a_j}]$
套用上面的方式，得到： $g(x) = \sum_{x|i}^{n}\sum_{x|j}^{n}[a_{b_i} = b_{a_j}]$
对于这个式子，可以 $log$得到

然后反演回去： $f(x)=\sum_{x|d}u(\frac{d}{x})*g(d)$
这里x 等于1，所以最终答案为：
$f(1)=\sum_{d=1}^{n}u(d)*g(d)$
$=\sum_{d=1}^{n}u(d)* \sum_{d|i}^{n}\sum_{d|j}^{n}[a_{b_i} = b_{a_j}]$

最终复杂度 $O(nlogn)$