【总结】2020暑假集训--二叉堆（未完待续）

一、概念

二叉堆是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树。树中每个结点与数组中存放该结点中值的那个元素相对应，如图。

二、性质

设数组 $A$的长度为 $len$，二叉树的结点个数为 $size$， $size≤len$，则 $A[i]$存储二叉树中编号为 $i$的结点值( $1≤i≤size$)，而 $A[size]$以后的元素并不属于相应的堆，树的根为 $A[1]$，并且利用完全二叉树的性质，我们很容易求第 $i$个结点的父结点、左孩子、右孩子的下标，分别是 $i/2$、 $2i$、 $2i+1$。(自己看图理解)

大根堆具有这样一个性质：对除根以外的每个结点i，A[fa(i)]≥A[i]。即除根结点以外，所有结点的值都不得超过其父结点的值，这样就推出，堆中最大元素存放在根结点中，且每一结点的子树中的结点值都小于等于该结点的值，这种二叉堆又称为“大根堆”；
反之，称为“小根堆”。

堆的操作

插入

图片理解

假如这是原始的堆

现在我们要插入一个13的节点，首先将他接在二叉树的后面，即7的右儿子
可以发现他与他的父节点不满足大根堆的关系，所以交换他们

发现现在它和它的父节点仍然满足大根堆的性质，所以插入完成
经过验证，新二叉堆依然满足性质，证明插入没问题

文字总结

转化为文字语言是：

1. 在堆尾加入一个元素，并把这个结点置为当前结点。
2. 比较当前结点和它父结点的大小
   如果如果当前结点大于父结点，则交换它们的值，并把父结点置为当前结点，继续转2。
   如果当前结点小于等于父结点，则转3。
3. 结束。

代码实现

接下来是代码实现：

1.在堆尾加入一个元素，并把这个结点置为当前结点。

heap[++len]=a;

其中len为堆的元素个数

2. 比较当前结点和它父结点的大小
   如果如果当前结点大于父结点，则交换它们的值，并把父结点置为当前结点，继续转2。
   如果当前结点小于等于父结点，则转3。

while(now>1){
	int fa=now>>1;
	if(heap[fa]<heap[now]){
		swap(heap[fa],heap[now]);
		now=fa;
	}
	else{
		break;
	}
}

完整代码：

void Put(int a){ //加入节点 
	heap[++len]=a;
	int now=len;
	while(now>1){
		int fa=now>>1;
		if(heap[fa]<heap[now]){ 
			swap(heap[fa],heap[now]);
			now=fa;
		}
		else{
			break;
		}
	}
}

这是大根堆的实现，小根堆就请大家自己通过理解改一下了~

（未完待续）

删除

二叉堆主要支持的是删除根节点

依然是来几张图理解一下

图片理解