UVA - 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2)（等价类计数）

题意：

项链和手环都是若干珠子构成的环形首饰，手环可以翻转，项链不行，例如下图中的两个手环是相同的。不论是手环还是项链，在旋转之后一样则视为相同。

给定n和t，输出用t种颜色的珠子（每种无限个），制作成n个珠子组成的项链和手环个数。

数据范围：n<=50，t<=10

解法：

显然是等价类计数问题
题目存在两种置换：翻转和旋转

项链只有旋转置换
手环有旋转和翻转两种置换

将珠子标号为0-(n-1)
旋转：
考虑珠子间隔为i的循环，那么每个循环中珠子数量为n/gcd(n,i)，共有gcd(n,i)个循环。
珠子数量为n/gcd(n,i)的证明：循环中珠子标号为0,i,2i,3i…(t-1)i%n。因为是循环，那么t i%n=0，t i=k n，k取所有满足条件的k中的最小值。当ti=lcm(i,n)的时候，t和k为最小值，此时ti=lcm(i,n)->t=lcm(i,n)/i=i n/gcd(i,n)/i=n/gcd(i,n)。
那么不动点的数量为t^gcd(i,n)。
对i=0到n-1的每个i的不动点求和即可，即sum(t^gcd(i,n))。

翻转：
1.n为奇数时，有n个对称轴，每个对称轴左右两边的对称点是一个循环，一共(n-1)/2个循环，对称轴上有一个点单独是一个循环，那么一共(n+1)/2个循环。那么不动点总数量为nt^(n+1)/2
2.n为偶数时，对称轴有两种，一种对称轴穿过珠子，一种不穿。穿过珠子的对称轴有n/2条，每个对称轴有(n-2)/2个对称循环和2个单点循环，循环数为(n+2)/2。不穿过珠子的对称轴有n/2条，每个对称轴有n/2个循环。综上得不动点的总数量为n/2(t^(n+2)/2+t^n/2)

计算出不动点总数，根据Polya定理计算平均值就是答案。
项链除以n，手环除以2n

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxm=2e5+5;
int n,t;
int ppow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main(){
    while(cin>>n>>t){
        //旋转
        int sum1=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            sum1+=ppow(t,__gcd(n,i));
        }
        //翻转
        int sum2=0;
        if(n%2){
            sum2+=n*ppow(t,(n+1)/2);
        }else{
            sum2+=n/2*(ppow(t,(n+2)/2)+ppow(t,n/2));
        }
        //输出
        cout<<sum1/n<<' '<<(sum1+sum2)/(2*n)<<endl;
    }
    return 0;
}

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