图的构建

邻接矩阵

直接做法

最容易想到的一种做法，定义一个二维数组w来存；
如下图

因为1和2之间有一条边权为2的边，那我们在(1,2),(2,1)填上2。
同理，因为2和3之间有一条边权为1的边，那我们在(2,3),(3,2)填上1。

以此类推，最后在没有边相连的两节点间填上-1；
写成代码就是

const int N=1000+5;
int w[N][N];
int x,y,z;
void Init()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int i,j;
	for(i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		w[x][y]=w[y][x]=z;
	}
	return;
}

遍历方式

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	if(w[u][i]==-1) continue;
	...;
}

邻接矩阵的优化

邻接矩阵慢就慢在要遍历很多无用的点，那我们能不能把以一个点出发，所有有用的点都存在一个数组里呢？
显然可以：

//城市x与城市y有长度为z的路
int a[N][N],w[N][N];
int x,y,z;
void Init()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int i,j;
	for(i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		a[x][++a[x][0]]=y;
		a[y][++a[y][0]]=x;
		w[x][y]=w[y][x]=z;
		return;
	}
}

遍历方式：

for(int i=1;i<=a[x][0];i++)
{
	y=a[x][i]; z=w[x][y];
	...;
}

优点：

1. 代码短，常数小。
2. 可以在常数时间内查询两点之间的边权。
3. 便于修改边权

缺点

1. 遍历慢（图越稀疏越慢）
2. 所需空间大

适用算法

• Floyed e.g.

邻接表

紧接上文邻接矩阵的优化，---->如果在存以一个点出发，所有有用的点的编号时同时存下边权，那不就可以省空间了吗。

如上图，是这么存的

因为1和2之间有一条边权为2的边，那我们在1开头的那一行的末尾填上（2，2）
第一个表边号，第二个表边权。（反过来当然也可以，个人喜好）；

vector

由于不知道一个点有多少个与之相连的点，于是用stl的动态数组vector来存。
这样省了空间，只不过常数会大一点。

const int N=50000+5;
vector< pair<int,int> > a[N];
void Init()
{
	int i,j;
	int x,y,z;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		a[x].push_back(make_pair(y,z));
		a[y].push_back(make_pair(x,z));
	}
	return;
}

遍历方式

for(int i=0;i<a[x].size();i++) 
{
	y=a[x][i].first; z=a[x][i].second;
	...;
}

链式前向星

思路

为了解决vector常数较大的弊端，大佬们发明了链式前向星。
链式前向星用于存储有向边，一条无向边分为两条有向边来存。

开一个统一的数组来存储边的信息。
那么一条边要存几个信息呢？
一是通向的节点ver，二是边权edge，三是以该点为起点的下一条边的编号Next。

还要另外开一个数组one，存储以该点为出发点的第一条边的编号（实际上是最后一条边），这样就可以从该边开始，不断调用其Next，把以该点为出发点所有边遍历了；

具体运作：

刚开始时

没有加入一条边，所有one指向0；

往图中加入有向边1->2 , 2

1. 造一条边（终点为2，边权为2，Next指向0）
2. 将该边接入以1开头的链表中；
   
   如何操作？

tot++;//tot是内存池
one[1]=tot; //接入
ver[tot]=2;
edge[tot]=0;

往图中加入有向边1->3 , 4

1. 造一条边（终点为3，边权为4，Next指向？？）
2. 将该边接入以1开头的链表中；

以1开头已经有一条边了，那么如何接入该边呢？

思路1:向链表后部插入

先遍历1开头的边，找到最后一边，将其Next指向tot。
时间复杂度是和边的数量正相关的，显然当以1为起点的边非常多时，程序会特别慢，所以我们考虑思路2.

思路2:向链表前部插入

如何操作？
先将新边的Next指向one指向的边（防止其丢失），
再将one指向新边的编号。
于是我们得到了通用的添边函数

const int N=10000+5;
int one[N];
int ver[2*N],edge[2*N],Next[2*N];
int tot=0;
void AddEdge(int a,int b,int c)//from a to b,w[a][b]=c;
{
	tot++; //边的计数器+1
	Next[tot]=one[a]; //先将新边的Next指向one指向的边（防止其丢失），
	one[a]=tot; // 再将one指向新边的编号。
	ver[tot]=b;
	edge[tot]=c;
	return;
}

void Init()
{
	int i,j;
	int a,b,c;
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		AddEdge(a,b,c);//把一个无向边看成两个有向边; 
		AddEdge(b,a,c);
	}
	return;
}

遍历方式：

for(int i=one[x];i>0;i=Next[i])
{
	y=ver[i]; z=edge[i];
	...;
}

这就是链式前向星的全部内容了，还不理解的话，可以再看一遍ヽ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ；
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邻接表的优缺点

优点

• 空间小
• 遍历快

缺点

• 不利于修改和查询

适用算法

• SPFA
• Dijkstra
• tarjian
• e.g.

存边

有些算法更关注边而不是点，如最小生成树算法\(kruscal\),和未优化的\(bellman-ford\)算法。

const int N=10000+5;
struct edge
{
	int x,y,w; //边的两个端点和边权
};
edge a[N];
void Init()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) 
		scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].w);
	return;
}