算法题解 - 牛客编程巅峰赛S1第4场 - 黄金&钻石组

A. 牛牛分蛋糕

题目描述

牛牛今天家里要来客人，所以牛牛今天特意做了他最拿手的两种蛋糕，但是他是一个有洁癖的人，所以他在分蛋糕时，有如下几个原则：

1. 他不希望一个盘子里出现两种蛋糕

2. 他希望每个盘子中都有蛋糕

3. 他想让装有最少蛋糕数量的盘子中装有的蛋糕数量尽可能多

备注:

n, a, b(1 ≤ a, b ≤ 10^5, 2 ≤ n ≤ a + b)
第一个参数代表盘子的数量
第二个参数代表第一种蛋糕的数量
第三个参数代表第二种蛋糕的数量。
程序应返回：在所有分法中，蛋糕数量最少的盘子中分到最多的蛋糕数量。

示例1

输入

5, 2, 3

输出

1

说明

只有一种方法把蛋糕分配到盘子里，即所有的盘子上都有一个蛋糕。

示例2

输入

4, 7, 10

输出

3

说明

第一个盘子中装有第一种蛋糕三个，第二个盘子中装有第一种蛋糕四个，第三个、第四个盘子中各装有第二种蛋糕五个。

解法一：暴力搜盘子

思路分析

要想装最少蛋糕数量的盘子中装的蛋糕最多，必定是均匀分配蛋糕。因此可以搜索所有的盘子分配方案，看哪种情况下均匀分配到的蛋糕最多。

时间复杂度： $O(n)$。总共有 $n - 1$ 种盘子分配方案。

空间复杂度： $O(1)$。

代码实现

public int solve (int n, int a, int b) {
  int res = 0;
  for(int i = 1; i < n; i++) {
    int min = Math.min(a / i, b / (n - i));
    res = Math.max(res, min);
  }
  return res;
}

解法二：二分搜蛋糕

思路分析

每个盘子都分配 $c$ 块蛋糕，若 $a / c + b / c \ge n$ 说明这样分配能使 $n$ 个盘子中都有蛋糕。二分搜索寻找最大的 $c$ 即可。

时间复杂度： $O(log(min(a,b)))$。

空间复杂度： $O(1)$

代码实现

public int solve (int n, int a, int b) {
  int l = 1, r = Math.min(a, b);
  while(l < r){
    int mid = (l + r + 1) >> 1;
    if(a / mid + b / mid < n) r = mid - 1;
    else l = mid;
  }
  return l;
}

B. 牛牛凑数字

题目描述

牛牛今天逛商店，看到商店里摆着一些很漂亮的数字，牛牛非常喜欢，想买一些数字带回家。

数字一共有九种类型，分别是 1 - 9 这九个数字，每个数字的价钱都不一样，而且每个数字的货源都非常充足。

牛牛是个完美主义者，他希望用自己的能够承受的价格，从这些数字里面购买，并且凑到最大的数字带回家。

备注:

第一个参数为一个整数 n(0 ≤ n ≤ 10^6)，代表牛牛所能承受的价格。
第二个参数为 1 - 9 这九个数字的价格数组，a1, a2, ……, a9(1 ≤ ai ≤ 10^5)。
程序应返回:一个数字，代表牛牛能凑到的最大的数字。当然，如果牛牛一个数字都买不起，返回 "-1" 即可。
注意，由于数字可能会很大，所以程序中需要处理成 string 类型进行返回。

示例1

输入

5,[5,4,3,2,1,2,3,4,5]

输出

"55555"

说明

第 5 个数字只需要花费 1，所以买 5 个第 5 个数字可以凑到最大值 55555。

示例2

输入

2,[9,11,1,12,5,8,9,10,6]

输出

"33"

说明

购买 2 个第 3 个数字，可以凑到最大值为 33。

解法：贪心

思路分析

要想数字最大，首先得数字的数量最多。其次，在相同数量的数字时，应尽可能买最大的数字。

如果每一个都买花费最少的数字 $a$，那么数字的数量 $cnt$ 必定是最多的。

找到这个最多的数量后，从大到小搜寻数字，若不减少数量的情况下能买到更大的数字，则用它替换掉 $a$。

时间复杂度： $O(\frac n {min(a_i)})$。最多买 $\frac n {min(a_i)}$ 个数字，因此最多搜寻这么多次。

空间复杂度： $O(1)$。

代码实现

public String solve (int n, int[] a) {
  StringBuilder res = new StringBuilder();
  int min = Integer.MAX_VALUE;
  int minNum = 0;
  for(int i = 0; i < 9; i++ ) {
    if(a[i] <= min) {
      min = a[i];
      minNum = i + 1;
    }
  }
  if(n < min) return "-1";
  boolean incre = true;
  while(incre && n > min) {
    incre = false;
    for(int i = 8; i >= minNum; i--) {
      if(n >= a[i] && ((n - a[i]) / min == n / min - 1)) {
        res.append(i + 1);
        n -= a[i];
        incre = true;
        break;
      }
    }
  }
  for(int i = 1; i <= n / min; i++) res.append(minNum);
  return res.toString();
}

另一种写法(时间复杂度没变，只是降低了代码量)

public String solve (int n, int[] a) {
  StringBuilder res = new StringBuilder();
  int minCost = Integer.MAX_VALUE;
  for(int i = 0; i < 9; i++ ) minCost = Math.min(minCost, a[i]);
  if(n < minCost) return "-1";
  int cnt = n / minCost;
  for(int i = 8; i >= 0 && res.length() < cnt; i--){
    while(n - a[i] >= minCost * (cnt - res.length() -1)){
      res.append(i + 1);
      n -= a[i];
      if(res.length() == cnt) break;
    }
  }
  return res.toString();
}

C. 牛妹的野菜

题目描述

书接上回，牛妹组织春游，有一个有趣的项目是挖番薯。聪明的牛妹拿到了一个标明了番薯洞的地图，每个番薯洞中有一定数量的番薯。同时，我们知道番薯洞的连接路径，并规定路径是单向且小序号指向大序号，也无环。可以从任意一处开始挖，然后沿着连接往下挖（仅能选择一条路径），当无连接时，结束。

设计一种挖番薯的方案，使得可以挖到更多的番薯。

输出路径。

备注:

总番薯数量不超过1000000，番薯洞数量不超过250.

示例1

输入

[5,10,20,5,4,5],[[1,2],[1,4],[2,4],[3,4],[4,5],[4,6],[5,6]]

输出

"3-4-5-6"

说明

很明显 先去第三点拿20个番薯，再去第四个点拿5个，再去第五个点拿4个，再去第六个点拿5个。这个方案最优

解法： 回溯

思路分析

(内心 os: 作为成年人，所有番薯我全要。一条路径上的番薯只够牛妹一个人吃！)

当我们处于洞口 $a$ 时，如果我们知道了每一个洞口 $b (b \in next(a))$ 的最优方案，那么可以直接比较集合 $next(a)$ 的各个方案，选择其中最优的作为下一个洞口。

依照这个思路，我们只要从路径的底部往头搜寻，就可以一次遍历得到所有洞口的最优方案。那么如何找到路径的底部呢？答案就是利用回溯。从入口递归的往下搜寻洞口，然后回溯中返回下一个洞口的最优方案。

时间复杂度： $O(n)$。每个洞口最多搜寻一次

空间复杂度： $O(n^2)$。对于 $n$ 个洞口，需要记录它们的下一个洞口。

代码实现

List<Integer>[] next; // 从 i 出发的下一个洞口
String[] path; // 从 i 出发的最优方案路径
int[] potatoMaxNum; //从 i 出发可以挖到番薯的最大数量
int[] potatoNum;
public String digSum (int[] potatoNum, int[][] connectRoad) {
  int n = potatoNum.length;
  next = new List[n + 1];
  path = new String[n + 1];
  potatoMaxNum = new int[n + 1];
  this.potatoNum = potatoNum;
  for(int i = 1; i <= n; i++) next[i] = new ArrayList<Integer>(250);
  for(int[] path: connectRoad){
    next[path[0]].add(path[1]);
  }
  String res = "";
  int maxNum = 0;
  for(int i = 1; i <= n; i++) {//遍历 n 个洞口，看看哪个洞口出发得到的番薯最多
    dfs(i);
    if(potatoMaxNum[i] > maxNum) {
      maxNum = potatoMaxNum[i];
      res = path[i];
    }
  }
  return res;
}

public int dfs(int d){//返回洞口 d 出发得到的最大番薯数量
  if(potatoMaxNum[d] != 0) return potatoMaxNum[d];
  if(next[d].isEmpty()) {//最后一个洞口了
    path[d] = "" + d;
    return potatoMaxNum[d] = potatoNum[d - 1];
  }
  int maxd = d;
  for(Integer nextd: next[d]) {//看看下一步去哪个洞口得到的番薯最多
    int num = dfs(nextd);
    if(num > potatoMaxNum[maxd]) maxd = nextd;
  }
  potatoMaxNum[d] = potatoNum[d - 1] + potatoMaxNum[maxd];
  path[d] = d + "-" + path[maxd];
  return potatoMaxNum[d];
}

写在最后

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