二分查找基础总结

一、基本思想

二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止；如果x<a[n/2],则只要在数组a的左半部分继续搜索x,如果x>a[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x.

二分查找的时间复杂度为：O(log2n)

我们可以根据一个例子来感受二分查找的优点：
A心里想着1-1000之间的一个数字，B来猜，可以问问题，A只能回答是或否，怎样猜问的问题次数最少？

• 是1吗？是2吗？…是999吗？
  （如果是这种问法，猜出这个数字平均要问500次）
• 大于500吗？大于250吗？…
  (这种问法将范围缩小到一半，最多只需要问10次！！！！即可得到该数字)

二、问题

1.在有序数组（非降序）中查找定值

• 思考: 可以说这是最基础的一种问题，将有序数组二分，用中间值a[mid]与目标值target作比较，如果 a[mid] 小于target，则在右区间继续进行二分；如果a[mid]大于 target，则在左区间继续进行二分，如果a[mid]等于target，则返回其下标索引。

• 代码：

int search(int a[], int n, int target) {
	int left = 0, right = n - 1;     //定义左右边界（闭区间）
	while(left <= right) {
		int mid = left + (right - left) / 2;
		if(a[mid] == targrt) {
			return mid;
		} else if(a[mid] > target) {
			right = mid - 1;
		} else if(a[mid] < target) {
			left = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
	//代码为了明显的展现出细节而使用else if,下面的代码也一样
}

• 注意 细节真的很重要！！！！！！
  <1>.防止死循环： 很多刚接触二分查找的人也包括我自己，在mid是否加减1上迷迷糊糊，在循环条件left<=right下，mid+1,mid-1可以让我们不去考虑死循环和左右中点的情况。如果left = mid，就可能存在left与right相邻的情况，而mid = (left+right)/2，mid 取得值为 left ，left 又等于 mid… …(无限循环下去)
  <2>.注意溢出： 建议mid取值时使用 mid= left+(right - left)/2，这样可以防止因left、right过大而导致mid溢出。

2. 在有序数组（非降序）查找第一个等于定值的元素

• 思考：举个例子a[4]={2,3,3,4,5}，target=3，返回第一个等于定值的元素的下标索引 1 。如果是按上一问题那样求的话一定返回的是2，只进行了一次二分就结束查找。所以，对于这种问题，当a[mid]等于目标值时，不要着急结束查找，应继续查找该元素的左边是否还存在相同元素。
• 代码：

int search(int a[], int n, int target) {
	int left = 0, right = n - 1;
	while(left < right) {
		int mid = left + (right - left) / 2;
		if(a[mid] >= target) {
			right = mid;
		} else if(a[mid] < target) {
			left = mid + 1;
		}
	}
	return (a[left] == target) ? left : -1;
}

• 注意：在循环条件left<right下，如果查找到a[mid]>=target,将右边界设于此处，继续进行查找，直到left==right结束循环， 可能数组中不存在目标值，所以最后应作出判断如果a[left]==target返回该元素的索引 left ,否则返回-1。

3.在有序数组（非降序）中查找最后一个等于定值的元素

• 思考：与上一道题类似，当a[mid]==target时，不要着急结束查找，应继续查找该元素右边是否还存在相同元素。
• 代码：

int search(int a[], int n, int target) {
	int left = 0, right = n - 1;
	while(ledt < right) {
		int mid = left + (right - left + 1) / 2;
		if(a[mid] <= target) {
			left = mid;
		} else if(a[mid] > target) {
			right = mid - 1;
		}
	}
	return (a[left] == target) ? left : -1;
}

• 注意：这里mid取值的时候用到（right - left + 1），这是为了防止取左中间点而出现死循环，因为当 a[mid] <= target 时，left=mid,一定会出现 left 与 right 相邻的情况，如果不加1，那么mid一定等于 left 的值，第一题中已经提到过，这样会无限循环下去。因为结束循环是当 left == right ，所以最后返回做判断时 a[left] 和 a[right] 都可以，数组中存在目标值返回其索引，否则返回-1。

4. 在有序数组（非降序）中查找第一个大于target的值

• 思考：其实这几道题都是大同小异，重要的是对细节的理解。如果查找到a[mid]>target，不要着急结束查找，应将该mid当作右边界，继续在其左边进行查找。
• 代码：

int search(int a[], int n, int target) {
	int left = 0, right = n - 1;
	while(left < right) {
		int mid = left + (right - left) / 2;
		if(a[mid] > target) {
			right = mid;
		} else if(a[mid] <= target) {
			left = mid + 1;
		}
	}
	return (a[left] > target) ? left : -1;
}

• 注意：这里对 a[mid] 大于 target 的处理，right = mid ，这使得 a[right] 始终大于target，直到left==right循环结束，这样 a[left] 一定为最小的大于target的值 (如果数组存在大于target的值)。

5. 在有序数组（非降序）中查找最后一个小于target的值

• 思考：类似与前面提到的，在找到 a[mid] < target 时，不要着急结束查找，应将该mid 作为左边界继续进行二分。
• 代码：

int search(int a[], int n, int target) {
	int left = 0, right = n - 1;
	while(left < right) {
		int mid = left + （right - left + 1）/ 2;
		if(a[mid] >= target) {
			right = mid - 1;
		}  else if(a[mid] < target) {
			left = mid;
		}
	}
	return (a[left] < target) ? left : -1;
}

• 注意：这就…没什么再补充的了，需要注意的前面也都提到过，比如mid 取值里的 +1 ，防止出现死循环。

三、总结

对于这段时间对二分查找的学习以及练习做题的感受，真的感觉细节是魔鬼！！！！！！！ 一不小心就不知道哪出错了 (T﹏T)，在网上看了很多种写法，对细节的处理都不太一样，所以，我还是觉得理解最重要，不能生搬硬套。
还有一点要注意！！！
先上图

所以做题时一定要对待查找的序列进行 排序 ！