题解 - P6142 [USACO20FEB] Delegation P

题解 - $\mathrm{P6142 \ [USACO20FEB] \ Delegation\ P}$

题目意思

• P6142
• 给定一棵含有 $n$个结点的树，把它分成若干条链（边只能选一次，点可以选多次），使得最短的那条链的长度最长是多少。
• $n\leq 10^5$

$\mathrm{Sol}$

• 一道 $STL$良（凉）好练习题。
• 我们首先肯定会去二分答案 $L$那个最长链长，关键是如何判定。
• 我们这边利用 $multiset$这个东东来维护，它是什么讷？就是一个容器，然后加入元素会帮你从小到大排序，且允许加入重复的元素，且删增操作是 $log$的。
• 然后我们就有考虑如何去判定：对于一个节点 $u$有若干条从 $v$连过来的边，我们尽量找道两条链 $l1,l2$连接使得 $l1+l2$尽量接近且大于等于 $L$。这个还是简单易懂的。于是我们是两两配对所以 $u$要从儿子节点 $v$连过来并且要有一条边给自己的父亲节点 $f_u$，那么如果从儿子那儿有奇数条边那么就不管了，如果偶数条边，我们强制构造出奇数条边（即加入一条 $0$边）。
• 于是我们 $O(n\log^2 n)$做完了这道题目，似乎还可以双指针优化到 $O(n\log n)$，这儿不多加介绍（因为比较菜。

$\mathrm{Code}$

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;

inline int read()
{
	int sum=0,ff=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-') ff=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
		sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar();
	return sum*ff;
}

const int N=1e5+5;

int n,m,ans,flg,jb,f[N];
vector<int> G[N];

inline void dfs(int u,int fa,int L)
{
	multiset<int> M;//multiset容器
	if(flg) return;
	for ( int i=0;i<G[u].size();i++ )
	{
		int v=G[u][i];
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u,L);
		M.insert(f[v]+1);
	}
	jb=0;
	if((u==1&&M.size()&1)||(u!=1&&!(M.size()&1))) M.insert(0);
	//强制除根节点外的点从儿子连边过来的边数为奇数条
	while(M.size())
	{
		multiset<int>::iterator It=M.begin();//取当前最小边
		int small=*It;
		M.erase(It);
		multiset<int>::iterator Big=M.lower_bound(L-small);
		//二分找到第一条大于等于二分的L的边
		if(u==1) 
		{
			if(Big==M.end())//找不到，走人
			{
				flg=1;
				break;
			}
			M.erase(Big);
		}
		else 
		{
			if(Big==M.end()&&jb)
			{
				flg=1;
				break;
			}
			if(Big==M.end()&&!jb) 
				jb=1,f[u]=small;//找到那一条可以给f[u]造成贡献的边
			if(Big!=M.end()) M.erase(Big);
		}
	}
}

inline bool check(int mid)
{
	flg=0;
	memset(f,0,sizeof f);
	dfs(1,0,mid);
	return (!flg);
}

int main()
{
	n=read();
	for ( int i=1;i<n;i++ )
	{
		int x,y;
		x=read(),y=read();
		G[x].pb(y);
		G[y].pb(x);
	}
	int l=0,r=n;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) 
			l=mid+1,ans=mid;
		else r=mid-1;//二分答案
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}