题解 - [HAOI2008]木棍分割

$\mathrm{[HAOI2008]}$ 木棍分割

吐槽环节

• 为什么一分部分分不给啊，一开始写了个 $n^3$，居然直接爆蛋。
• 前缀和优化 $DP$还要滚存

题目意思

• 题目传送门

$\mathrm{Sol}$

• 前置知识：前缀和优化DP
• 对于第一问就是个 $hh$问题，直接二分就可以了。这个没什么好讲，看看代码：

inline bool check(int mid) 
{
	int sum=0,all=0;
	//mid:二分的答案，sum：分的组数，all：当前组的总长
	for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
	{
		if(a[i]>mid) return false;//有一段大于mid显然不合理
		if(all+a[i]>mid) 
			all=a[i],sum++;
		else all+=a[i];
	}
	return (sum<=m);//判断需要分的最小组数<=m
}

• 对于第二问我们可以用 $DP$来解决。首先我们会显而易见的想到 $f_{i,j}$表示到第 $i$根木棒，分成 $j$组的方案数。然后就是直接 $n^3$做： $f_{i,j}=\sum_{k=1}^{i-1} f_{k,j-1}[sum(i)-sum(k)\leq x]$。我们再来看看 $n^3$的代码（不要以为你会有分，就是爆蛋）

inline int n_three_dp(int x)//函数名就是n^3，多好
{
	for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
		if(sum[i]<=x) f[i][0]=1;//初始化（不用分能将连续几根分在一起）
	for ( int j=1;j<=m;j++ ) //枚举组数
		for ( int i=1;i<=n;i++ )
			for ( int k=0;k<i;k++ ) 
				if(sum[i]-sum[k]<=x) //dp转移
					Add(f[i][j],f[k][j-1]); 
	int ans=0;
	for ( int i=0;i<=m;i++ ) Add(ans,f[n][i]);//统计答案
	return ans;
}

• 到现在我们还是 $0$分，我们考虑用前缀和优化。 $pre_{i,j}=\sum_{k=1}^{j}f_{i,k}$，然后我们用前缀和去更新 $f_{i,j}$，就是 $f_{i,j}=pre_{i-1,j}-pre_{i-1,k-1}$。然后我们再交一下，发现还是 $0$分（qwq…
• 那我们仔细观察这个转移发现对于一个固定的 $j$我们去枚举若干个 $k$会浪费时间。于是我们记录第一个 $k$满足 $sum_i-sum_k\leq x$的位置为 $P_i$。这里有点像容斥（就是总方案数减去不合法方案数）。
• 对于每个 $P_i$我们考虑到 $sum$的单调性，不需要 $O(n^2)$计算。看看代码

for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
		for ( ;j<i;j++ ) //利用sum的单调性
			if(sum[i]-sum[j]<=x) 
			{
				ed[i]=j;
				break;
			}

• 这样我们时空都是 $O(n\times m)$，空间不行，考虑滚存（后面就是简单套路了， $f[],pre[]$互相更新即可。
• 具体看代码，这样我们就成功把空间降到 $O(n)$，能过

$\mathrm{Code}$

#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#pragma GCC optimize("-fgcse")
#pragma GCC optimize("-fgcse-lm")

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
//#define int long long
using namespace std;

inline int read()
{
	int sum=0,ff=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-') ff=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
		sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar();
	return sum*ff;
}

const int N=5e4+5;
const int mo=10007;

int n,m,ans,a[N],sum[N],f[105][1005],g[N],pre[N],ed[N],ret;

inline bool check(int mid,int &s) 
{
	int sum=0,all=0;
	for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
	{
		if(a[i]>mid) return false;
		if(all+a[i]>mid) 
			all=a[i],sum++;
		else all+=a[i];
	}
	s=sum+(all!=0);
	return (sum<=m);
}

inline void Add(int &x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mo) x%=mo;
}

inline int n_three_dp(int x)
{
	for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
		if(sum[i]<=x) f[i][0]=1;
	for ( int j=1;j<=m;j++ ) 
		for ( int i=1;i<=n;i++ )
			for ( int k=0;k<i;k++ ) 
				if(sum[i]-sum[k]<=x) 
					Add(f[i][j],f[k][j-1]); 
	int ans=0;
	for ( int i=0;i<=m;i++ ) Add(ans,f[n][i]);
	return ans;
}

inline int dp(int x)
{
	for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
	{
		if(sum[i]<=x) g[i]=1;
		pre[i]=pre[i-1]+g[i];
	}
	int j=0;
	for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
		for ( ;j<i;j++ ) if(sum[i]-sum[j]<=x) 
			{
				ed[i]=j;
				break;
			}
	for ( int j=2;j<=m+1;j++ ) 
	{
		for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
		{
			g[i]=pre[i-1];
			if(ed[i]>=1) g[i]=(g[i]-pre[ed[i]-1]+mo)%mo;
		}
		pre[0]=0;
		for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
			pre[i]=(pre[i-1]+g[i])%mo;
		Add(ret,g[n]);
	}
	ret+=(sum[n]<=x);
	return (ret+mo)%mo;
}
			
signed main()
{
	n=read();
	m=read();
	int mx=0;
	for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
	{
		a[i]=read();
		mx=max(mx,a[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	int l=mx,r=sum[n];
	ret=0;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		int s=0;
		if(check(mid,s)) 
			ans=mid,r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	if(n<=100) 
		printf("%d %d\n",ans,n_three_dp(ans));
	else 
		printf("%d %d\n",ans,dp(ans));
	return 0;
}