分配格充要条件的证明
一、格是模格的充要条件
格是模格的充要条件是对任意 ，若 且存在 使得
「证明：」 设 是一个模格
对任意 且 ， ，
则
反之，设 是一个格，对 且 有
因为 ，则 ，所以
而(1)
又
可得(2)
由(1)和(2)得
同理有
因为 在 上封闭，由定理假设条件有 ，即 是模格
格 是模格的充要条件为不含与五角格同构的子格
「证明：」 设 含与五角格同构的子格
其中
得 与模格定义矛盾，故格 不是模格
若格 不是模格，则 中有适合 ，而 的元素 。令 ，则 是 中的元素，且 ，其中
同理 ，又
所以 ，与所给条件矛盾
二、模格是分配格的充要条件
模格 是模格的充要条件为不含与钻石格同构的子格
「证明：」 钻石格是一个模格，但
而
所以
故此五元格不是分配格
设 是一非分配模格，且 是此格中不满足分配律的任意三元素
令
则
由对称知
再证 是五个不相等元素。不妨设 ，则 ，矛盾
若 ，则 ，而 ，导致 ，矛盾
同理，若令 ，可导致 ，矛盾
设 ，有 ，矛盾，知 与 不可比，由对称性， 均两两不可比
三、格是分配格的充要条件
格 是模格的充要条件为不含与五角格或钻石格同构的子格
「证明：」 由一和二的证明易得
「推论：」 任何一个小于五个元的格都是分配格
「另证：」 形如五角格和钻石格的格都不是分配格
若格 是分配格，则必不含这样的子格
现考察一般格中任意元素 ，利用格定义，有以下情况
(1) 任意两个都存在偏序关系
(2) 中有两个不存在偏序关系，但都与第三个存在偏序关系
(3) 中有两个存在偏序关系，但都与第三个不存在偏序关系
(4) 中任意两个都不存在偏序关系
「I：」 
「II：」 
若格中不含这样的子格，则只能是(1)、(2)和(4).I
而这几种情况的格均为分配格
一个格 是模格的充要条件为对任意 有
「证明：」 先证必要性，若 为一个分配格
因为 ， ，有 ，而 ，所以
再证充分性
而
所以
得到
由对偶原理
因此，格 为分配格
「参考文献」
[1]张敏先.关于模格、分配格充要条件的严格推证[J].重庆邮电学院学报,1993(01):22-26.
[2]许华康.分配格充要条件的一个直接证明[J].数学的实践与认识,1988(03):77-79.