2016集训队论文 积性函数求和的几种方法

　　1.线性筛

　　2.莫比乌斯反演

　　　　$f(n)=\sum\limits_{k|n}g(k) <----> g(n)=\sum\limits_{k|n}f(k)\mu(\frac{n}{k})$

　　　　$proof:f=g*I$

　　　　　　$f*\mu=g*I*\mu=g*\epsilon=g$

　　设$t(i)$为完全积性函数且$t(1)==1$

　　　　$f(n)=\sum\limits_{k=1}^n t(k)g(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor) <---> g(n)=\sum\limits_{k=1}^nt(k)f(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor)\mu(k)$

　　　　$proof:$将左代入右

　　　　　　$g(n)=\sum\limits_{k=1}^n t(k)\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}t(i)g(\lfloor\frac{n}{ik}\rfloor)$

　　　　　　　　$=\sum\limits_{j=1}^n g(\lfloor\frac{n}{j}\rfloor) \sum\limits_{i|j} \mu(i)t(i)t(j/i)$

　　　　　　　　$=\sum\limits_{j=1}^n g(\lfloor\frac{n}{j}\rfloor)t(j) [j==1]$

　　　　　　　　$=g(n)$

　　　3.杜教筛(一道题SPOJ DIVCNT2)

　　　　计算$\sigma$