MATLAB_矩阵处理
需要提到的数学知识
这里只是简单的了解，不做太多性质上的解释，或者以后更新吧。
| 名称 | 定义 |
|---|---|
| 对角阵 | 只有对角线上有非零元素的矩阵 |
| 数量矩阵 | 对角线上的元素全相等的对角阵 |
| 单位矩阵 | 对角线上的元素都为1的对角矩阵 |
| 上三角形矩阵 | 对角线以下的元素全为零的矩阵 |
| 下三角形矩阵 | 对角线以上的元素全为零的矩阵 |
| 零矩阵 | 元素全为0的矩阵 |
| 幺矩阵 | 元素全为1的矩阵 |
| 魔方矩阵 | 组成元素为自然数1、2、…、n2的平方的n×n的方阵，其中每个元素值都不相等，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。 |
| 范德蒙矩阵 | 最后一列全为1，倒数第二列为指定的V向量，其他列是其后列与倒数第二列的点乘积。（从最后一列是V的0次方，一次到第一列为V的n-1次方。 |
| 希尔伯特矩阵 | H(i,j) = 1/(i+j-1) |
| 伴随矩阵 | 矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵,再转置 |
| 帕斯卡矩阵 | 由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡矩阵,矩阵的第n行为三角左斜线的第n条。 |
| 方阵的行列式 | 把方阵按照行列式进行运算 |
| 矩阵的秩 | 线性无关的行数或列数成为矩阵的秩 |
| 矩阵的迹 | 等于矩阵对角线元素的和，也等于矩阵特征值的和 |
| 向量和矩阵的范数 | 用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度 |
| 矩阵的条件数 | 等于矩阵的范数与逆矩阵的范数的乘积 |
| 矩阵的特征值 | 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值，x是对应特征值的特征向量 |
注：
- 范德蒙矩阵常用于各种通信系统的纠错编码。
- 希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵，阶数越高，病态越严重。
- 奇数阶魔方矩阵为满秩矩阵，一重偶数阶的秩为n/2+2（n为2的倍数但不是4的倍数），二重偶数阶的秩都为3（阶数是4的倍数）。
- 矩阵的条件数越接近于1，矩阵的性能越好。反之，矩阵的性能越差。
相关的函数
注：代码采用C描述
零，幺矩阵
zeros(m,n) // 产生m * n的全零矩阵
ones(m,n) // 产生m * n的全1矩阵
可以通过zeors(size(A))的方式产生和A一样形状的全零矩阵。
单位矩阵
eye(m,n) // 产生m * n的对角线为1其他为0的矩阵，当为方阵时产生单位矩阵
魔方矩阵
magic(n) //产生n阶的魔方矩阵
范德蒙矩阵
vander(V) //产生以V为向量的范德蒙矩阵
希尔伯特矩阵
hilb(n) // 产生n接希尔伯特矩阵
伴随矩阵
compan(p) //产生p向量的伴随矩阵
帕斯卡矩阵
pascal(n) //产生n阶帕斯卡矩阵
提取矩阵的对角线元素
diag（A，k） // 提取A矩阵的第k条对角线元素，主对角线元素为0，其上为1，其下为-1，以此类推
构造对角矩阵
扫描二维码关注公众号，回复：
11338119 查看本文章
diag（V，k） // 以V向量为第k条对角线元素，主对角线k值为0，其上为1，其下为-1，以此类推
上，下三角形矩阵
triu（A,k） // 提取A矩阵的第k条对角线以上的元素
tril（A,k） // 提取A矩阵的第k条对角线以下的元素
矩阵的旋转
rot90（A，k） // 将矩阵A逆时针旋转90°的k倍，k为1时可省。
矩阵的反转
解释：对矩阵实施左右反转是将原矩阵的第一列与最后一列调换，第二列与倒数第二列调换。。。。以此类推
fliplr（A） // 矩阵左右翻转
flipud（A） // 矩阵上下反转
矩阵求逆
inv（A） 求A的逆矩阵
方阵的行列式
det（A） // 求方阵A的行列式
矩阵的秩
rank（A） // 求矩阵A的秩
矩阵的迹
trace（A） // 求矩阵A的迹
矩阵的特征值与特征向量
E = eig（A) // 求矩阵A的全部特征值，构成向量E
[X,D] = eig(A) // 求矩阵A的全部特征值，构成向量D，并产生矩阵X，X的各列是对应的特征向量
完全存储方式
full（A） //将矩阵A转换为完全存储方式
稀疏存储方式
sparse（A） // 将矩阵A转换为稀疏存储方式
sparse(m,n) // 生成一个m*n全是0的稀疏矩阵
sparse(u,v,S) // 其中u，v，S是三个等长的向量，S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i) 和 v(i) 分别是S(i)的行，列下标。
B = spconvert(A) // 直接建立稀疏存储矩阵
带状稀疏存储矩阵
是一种十分典型的有规则的稀疏存储矩阵，指所有非零元素集中在对角线上的矩阵
[B,d] = spdiags（A） // 从带状稀疏存储矩阵矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置给向量d
A = spdiags(B,d,m,n) //产生一个m×n稀疏矩阵A，其元素是B中的列元素放
在由d指定的对角线位置上
操作符
- A.’ 进行A矩阵的转置操作
- A’ 在A矩阵转置的基础上，复数还进行共轭
某些技巧性代码
生成[a,b]区间内均匀分布的随机整数。
fix(a + (b-a+1)*x) %因为fix是靠0取整，故加1
生成x阶均值为a，方差为b的正态均值随机矩阵
a + sqrt(b) * randn(x)