需要掌握
- MATLAB语言中特殊矩阵
- MATLAB语言中矩阵的变幻
- MATLAB语言矩阵如何求值
- MATLAB语言中特征值与特征向量
- MATLAB语言中稀疏矩阵
2.1 特殊矩阵
如何建立矩阵？
逐个按行的顺序，输入矩阵的各个元素，全部元素用中括号括起来，同一行的元素用，或者空格分隔，不同行的元素之间用分号（；）分隔。
l 通用性的特殊矩阵——0矩阵，1矩阵，单位矩阵等等
l 用于专门学科的特殊矩阵——范德蒙矩阵，魔方矩阵等等
1．通用的特殊矩阵
zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。
ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。
eye函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。
rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵。
randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
zeros函数的调用格式：
zeros(m)：产生m×m零矩阵。
zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。
zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。 Size返回A的行数和列数
>> A=zeros(2,3)
A = 0 0 0
0 0 0
>> zeros(size(reshape(A,3,2))) // reshape将A转变为三行两列的矩阵，size得到向量3和2
ans = 0 0
0 0
0 0
例1 产生5阶两位随机整数（10-99）矩阵A，再产生均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，验证(A+B)I=IA+BI（I为单位矩阵）。
rand函数：产生(0，1)开区间均匀分布的随机数x。
fix(a+(b-a+1)*x)：产生[a，b]区间上均匀分布的随机整数。
randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机数x。
μ+σx：得到均值为μ、方差为σ2的随机数。
>> A=fix(10+(99-10+1)*rand(5));
>> B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5);
>> C=eye(5); //产生五阶单位阵
>> (A+B)*C==C*A+B*C
ans =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2．用于专门学科的特殊矩阵
(1)魔方矩阵——Magic Square
>> M=magic(3) //和均为15
M = 8 1 6
3 5 7
4 9 2
n阶魔方阵由1,2,3,…,n2共n2个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
n阶魔方阵每行每列元素的和为(1+2+3+…+ n^2)/n=(n+n^3)/2
n>2时有很多不同的n阶魔方阵，MATLAB函数magic(n)产生一个特定的魔方阵。
例2 产生8阶魔方阵，求其每行每列元素的和。
>> M=magic(8);
>> sum(M(1,:)) //每列
ans =
260
>> sum(M(:,1)) //每行
ans =
260
（2）范德蒙矩阵
范德蒙（Vandermonde）矩阵是法国数学家范德蒙提出的一种特殊矩阵。范得蒙矩阵的最后一列全为1，即向量v各元素的零次方，倒数第二列为指定的向量v，即向量v各元素的一次方， 其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。
在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础的范得蒙矩阵。
>> A=vander(1:5) //以1.2.3.4.5组成的向量为基础。
A = 1 1 1 1 1
16 8 4 2 1
81 27 9 3 1
256 64 16 4 1
625 125 25 5 1
范德蒙矩阵常用在各种通信系统的纠错编码中，例如，常用的Reed-Solomon 编码（里德-所罗门编码）即以范德蒙矩阵为基础。
(3) 希尔伯特矩阵
n阶希尔伯特（Hilbert）矩阵的一般形式为：
希尔伯特矩阵的元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。
在MATLAB中，生成n阶希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。
>> format rat //设置输出为有理数输出
>> H=hilb(4)
H = 1 1/2 1/3 1/4
1/2 1/3 1/4 1/5
1/3 1/4 1/5 1/6
1/4 1/5 1/6 1/7
希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵，即任何一个元素发生较小的变动，整个矩 阵的值和逆矩阵都会发生很大变化。病态程度和矩阵的阶数相关，随着阶数的增加病态越严重。
(4)托普利兹矩阵、
托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他元素都与左上角的元素相等，即T(i,j)=T(i-1,i-1)。
toeplitz(x,y): 生成以x为第一列， y为第一行的托普利兹矩阵。
toeplitz(x): 用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。 //x和y均为向量，长度不必相等。
（5）伴随矩阵
设多项式p(x)为anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，则多项式的伴随矩阵是：
p(x)称为A的特征多项式，方程p(x)=0的根称为A的特征值。第一行由系数组成
MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，生成多项式x3-2x2-5x+6的伴随矩阵。
>> p=[1,-2,-5,6];
>> A=compan(p)
A = 2 5 -6
1 0 0
0 1 0
可以求出伴随矩阵的特征值，该特征值等于多项式方程的根。
(5) 帕斯卡矩阵
根据二项式定理，(x+y)^n展开后的系数随着n的增大组成一个三角形表，这个三角形称为杨辉三角形。 每行代表不同n时的二项式系数
把二项式系数依次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧的n行n列元素即为n阶帕斯卡（Pascal）矩阵。
帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为1，其余位置的元素是该元素的左边元素与上面元素相加，即P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j)，且P(i,1)=1,P(1,j)=1。
函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。
例3 生成5阶帕斯卡矩阵，验证它的逆矩阵的所有元素也为整数。
>> format rat //有理数输出格式
>> P=pascal(5)
P =
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70
>> inv(P) //求逆矩阵
ans =
5 -10 10 -5 1
-10 30 -35 19 -4
10 -35 46 -27 6
-5 19 -27 17 -4
1 -4 6 -4 1
Tip:单位矩阵：它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。
设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。