ACM算法总结 字符串（三）

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带通配符的单模式匹配

平常的单模式匹配就是给出一个模式串 t，给出一个文本串 s，问 s 中能够在哪些位点完全匹配 t，这个用 KMP 可以很好地解决。但是如果在模式串和文本串中有一些通配符，也就是这些符号匹配什么都可以，那这样就解决不了了。比如说 t=a*b ，s=aebr*ob，其中 * 表示通配符，那么 t 在 s 中可以匹配的位点为 1 5（下标从 1 开始）。

解决办法本质上是把匹配转变为一个数学公式 G(x)，表示模式串在原串的 x 处的匹配公式，并且这个 G(x) 满足 $\forall x\ge 0,G(x)\ge 0$，且当 G(x)=0 时表示可以匹配。一般 G(x) 由一些子公式组成。

对于带通配符的单模式匹配问题，我们可以设子函数 p(a, b) 表示 t[a] 和 s[b] 的匹配函数，p(a, b) 和 G 具有一样的性质，所以我们的主要目标就是如何构造函数 p，使得它满足这个性质。比如对于这个问题，我们可以把 * 设为0，然后设 $p(a,b)=(t[a]-s[b])^2t[a]s[b]$，那么满足 $p(a,b)\ge0$，并且仅当 t[a]=s[b] 或两个中有通配符时才成立 p(a, b)=0 ，其余情况都大于 0 。所以有 $G(x)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}p(i,x+i)$ ，可以证明这个 G(x) 满足上面的限制。

进一步，我们把模式串 t 翻转（这是为了凑出常数），然后公式就变为 $G(x)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}p(m-i-1,x+i)$ ，发现 $m-i-1+x+i=m-1+x$，对于特定的 x 是一个常数，那把 p 带入展开之后，这不就是一个很长的卷积和式么。用几次 FFT 加速，就可以算出所有的 G(x)，然后一一判断是否等于 0 来决定是否匹配。

其实一般的单模式匹配也可以这么做，只要改一下 p 函数，改成 $p(a,b)=(t[a]-s[b])^2$ 就可以了。