一道有趣的算法题： 将正整数表示成为两个正整数的平方差

校内训练赛的题目，挺有意思的，写出来分享下

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题目

分析

题目不短，但是问题不难。给定一个正整数，是否可以将其表示成为两个正整数的平方差

使用题目中的形式就是：n = m² - k² ，给定正整数n，求出一组满足该方程的m和k。如果不能表示成这种形式，则输出impossible

就像样例所给的，7 = 4² - 3² = 16 - 9。而10 不能被表示成任何正整数的差。

枚举 O(n)

有一种思路非常容易想到，那就是暴力枚举m，检验算出的值是否是完全平方数即k²。

下面就需要想办法确定m的枚举范围了。我们知道，对于确定的m，平方差最小值为 m² - (m - 1)² = m * 2 + 1

对于再大的m，我们就没有枚举的必要了。也就是说，m的范围应该满足这个式子：

m * 2 - 1 <= n

整理：
m <= (n + 1)/2

那么如果超过了这个范围，还没有找到，那就是不能被表示了，输出impossible就好。

这确定了上限，下面我们需要来确定下限。考虑到 k² = m² - n > 0 解得 m > sqrt(n)

后面的交给暴力就好

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
long long n;
int main()
{
	cin >> n;
	for(long long m = sqrt(n) + 1,k;m <= (n - 1) >> 1;m++)
	{
		k = sqrt(m * m - n);
		if(n == m * m - k * k)
		{
			cout << m << " " << k;
			return 0;
		}
	}
	cout << "impossible"; 
}

因数分解O(sqrt(n))

那么除了刚刚那种暴力的枚举。我们还可以使用一些数学手段重新规划这个求解过程。

考虑到：

n = m² - k² = (m + k)(m - k)

设

x = m + k
y = m - k
(x > y)

则有

n = x * y
m = (x + y) / 2
k = (x - y) - 2

至此，不难发现，x，y可以通过分解n的因数得到，而m和k有效的条件只需要保证x和y的奇偶性相同即可

让我们分析样例：

7 = 7 * 1
x = 7
y = 1
x y 奇偶性相同，同为奇数，有：
m = (x + y) / 2 = 4
k = (x - y) / 2 = 3

而对于10来说，两组因数1和10,2和5奇偶性都不相同，因此不能表示成为两个正整数的平方差。

这样一来，实现也就变得简单了

#include<iostream>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
long long n;
int main()
{
	cin >> n;
	for(long long y = 1,x;y < sqrt(n);y++)
	{
		if(n % y)	//不是因数
		{
			continue;
		}
		x = n / y;
		if((y + x) & 1)//奇偶性不同
		{
			continue;
		}
		cout << (y + x) / 2 << " " << (x - y) / 2;
		return 0;
	}
	cout << "impossible";
}

奇偶判断O(1)

奇数

由这个求解方式易得一条定理：

任意一个正奇数都可被表示成为两个相邻正整数的平方差

读者可以按照刚刚的步骤来构造证明

因此对于奇数，我们可以直接去1和其本身作为

偶数

另外，对于偶数，我们知道其一定有一个因数是2。进而若一个因数包含了这个2，想要两个因数奇偶性相同则另一个因数必定至少包含一个因数2。否则，另一个因数就是奇数，两因数奇偶性不同。

因此，对于一个偶数，其质因数中必定要包含至少连续被2整除两次，即被4整除。如果满足这个性质，就可取2作为y，n - 2作为x。否则，就是impossible

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
long long n;
int main()
{
	cin >> n;
	if(n & 1){
		cout << n / 2 + 1 << " " << n / 2;	
	}else{
		if(n % 4){
			cout << "impossible";
		}else{
			cout << (n / 2 + 2) / 2 << " " << (n / 2 - 2) / 2;
		}
	}
}