【笔记整理】通信原理第五章复习——模拟信号的数字化

5.1 引言

• 数字通信系统的优点：
  （1）抗干扰能力强
  （2）传输差错可控
  （3）便于现代化数字信号处理技术来对数字信息进行处理
  （4）易于集成化
  （5）易于加密处理，保密强度高

• 利用数字通信系统传输模拟信号一般需三个步骤：
  （1）模拟信号数字化，即模数转换（A/D）；
  （2）进行数字方式传输；
  （3）把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A）。

发端的A/D变换成为信源编码（作用：将模拟信号变换为数字信号，以实现模拟信号的数字化传播；压缩编码，减少码元数目和提高码元速率，提高有效性），而收端的D/A变换成为信源译码。
模拟信号数字化的方法大致可划分为波形编码、参量编码和混合编码两类。
补充：信道编码（对数码流进行相应的处理，增加冗余，也就是所谓的“抗干扰编码”，使系统具有一定的纠错能力和抗干扰能力，可极大地避免码流传送中误码的发生。）
（因此有效性和可靠性不可兼得）
波形编码是直接把时域波形变换为数字代码序列，比特率通常在16kb/s～64kb/s范围内，接收端重建信号质量好。常用的波形编码有PCM、 $\Delta M$（增量编码）

5.2 抽样定理

抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。（时间上离散，样值连续的模拟信号，与数字信号区分）
对一个频带有限的时间连续的模拟信号抽样，当抽样速率达到一定数值时，那么根据它的额抽样值就能重建原信号。
因此，抽样定理是模拟数字化的理论依据。

5.2.1 低通抽样定理

一个频带限制在 $(0,f_H)$Hz内的时间连续信号 $m(t)$，如果以 $T_s \leq \frac{1}{2f_H}$秒的间隔对它进行等间隔抽样（均匀抽样），则 $m(t)$将被所得到的抽样值完全确定。
奈奎斯特间隔 $T_s$：最大允许的抽样间隔
奈奎斯特速率 $f_S$：最小允许的抽样速率
经过抽样后，可经过一个理想低通滤波器得到原来的信号 $m(t)$
内插公式:
$m(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} m(nT_s)Sa(\omega_Ht-n\pi)$

5.2.2 带通抽样定理

如果采用低通抽样定理的抽样速率 $T_s \geq \frac{1}{2f_H}$，对频率限制在 $f_L$和 $f_H$之间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求，但这样选择 $f_s$太高了，会使得频谱空隙得不到利用，降低信道的利用率。
带通信号 $m(t)$，频率限制在 $f_L$和 $f_H$之间，带宽 $B=f_H-f_L$
抽样频率：
$f_s \geq \frac{2f_H}{m}$
$m(t)$可完全由其确定，其中 $m=[\frac{f_H}{B}]$

• 若 $f_H=nB,n=1,2,...$
  则其最小抽样频率为：
  $f_s= \frac{2f_H}{n}= \frac{2nB}{n}=2B$
• 若 $f_H=nB+kB,n=1,2,...,0<k<1$
  则其最小抽样频率为：
  $f_s= \frac{2f_H}{n}= \frac{2(n+k)B}{n}=2(1+ \frac{k}{n})B$
• 当 $f_H \gg B$时， $n$很大
  则其最小抽样频率为：
  $f_s \approx 2B$
  【带通抽样定理】抽样频率 $f_s \geq 2B$时， $m(t)$可完全由其抽样值确定

5.3 脉冲振幅调制（PAM，抗干扰能力差）

5.3.1 脉冲振幅调制（PAM）

脉冲调制就是由于脉冲冲激序列在现实中无法实现，现实中以时间上离散的脉冲串（窄脉冲序列）代替理想的脉冲冲击序列，用模拟基带信号 $m(t)$去控制脉冲串的某参数，使其按 $m(t)$的规律变化。
注意：此处是模拟调制！！！

5.3.2 自然抽样（曲顶抽样）的脉冲调幅

它是指抽样后的脉冲幅度（顶部）随被抽样信号 $m(t)$变化，或者说保持了 $m(t)$的变化规律
$m_s(t)$是自然抽样的PAM信号：
$m_s(t)=m(t)\times s(t)$
脉冲载波 $s(t)$是宽度为 $\tau$，周期为 $T_s$，幅度为 $A$的矩形窄脉冲序列， $s(t)=g(t)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$其频谱表达式为：
$S(\omega)=G(\omega)[\omega_s \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_s)] \\ =[A\tau Sa(\frac{\tau}{2} \omega)] [\frac{2\pi}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_s)]\\ =\frac{2\pi A \tau}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty}Sa(n \omega_H \tau)\delta(\omega-2n\omega_H)$

5.3.3 瞬时抽样（平顶抽样）的脉冲调幅

抽样后信号中的脉冲均具有相同的形状——顶部平坦的矩形脉冲，矩形脉冲的幅度即为瞬时抽样值。平定抽样PAM信号在原理上可以由理想抽样和脉冲形成电路产生，其中脉冲形成电路的作用就是把冲击脉冲变成矩形脉冲。
$m_s(t)=m(t)\times \delta_T(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}m(nT_s)\delta(t-nT_s)\\ M_s(\omega)=\frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty}M(\omega-n\omega_s)\\ M_q(\omega)=M_s(\omega)Q(\omega)=\frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty}M(\omega-n\omega_s)Q(\omega)$
如何从 $m_q(t)$中恢复出 $m(t)$？
滤波前先用特性为 $\frac{1}{Q(\omega)}$频谱校正网络加以修正，则低通滤波器便能无失真地恢复基带信号 $m(t)$

5.3.4 理想抽样 VS. 自然（平顶）抽样

理想抽样：
$M_s(\omega)=\frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty}M(\omega-n\omega_s)$
自然抽样：
$M_s(\omega)=\frac{A\tau}{T_s}\sum_{-n=\infty}^{\infty}Sa(n \tau \omega_H)M(\omega-n\omega_s)$

• 理想抽样的频谱常数 $\frac{1}{T_s}$加权，信号带宽为无穷大
• 自然抽样频谱的包络按Sa函数随频率增高而下降，带宽是有限的，且带宽与脉宽 $\tau$有关。脉宽越大，带宽越小，有利于信号的传输，但 $\tau$增大会导致时分服用的路数减小
• 自然抽样在频域中带宽的改善是用时域中的损失为代价的

5.4 脉冲编码调制（PCM）

脉冲编码调制（PCM）是一种用一组二进制数字代码代替连续信号的抽样值，从而实现通信的方式。PCM信号的形成是模拟信号经过“抽样、量化、编码”三个步骤实现的。
抽样是按抽样定理把时间上连续的模拟信号转换成时间上离散的抽样信号（变成时间上离散，样值连续的一个模拟信号，成为抽样序列信号）；
量化是把幅度上仍连续（无穷多个取值）的抽样信号进行幅度离散，即制定M个（有限个）规定的电平，把抽样值用最接近的电平表示：对模拟抽样值的量化过程会产生误差，成为量化误差，通常用均方误差来度量。由于这种误差影响也是随机的，它像噪声一样影响通信质量，故又称为量化噪声。
编码是用二进制码组表示量化后的M个样值脉冲。

5.4.1 量化

利用预先规定的有限个电平来表示模拟信号抽样值的过程

5.4.1.1 均匀量化

把输入信号的取值域按等距离分割的量化成为均匀量化。
量化信噪比 $\frac{S}{N_q}=M^2$随信号电平的减小而下降。
产生这一现象的原因是均匀量化的量化间隔 $\Delta$为固定值，量化噪声功率 $N_q=\frac{\Delta^2}{12}$固定不变。
这样，小信号时的量化信噪比就难以达到给定的要求。通常，把满足信噪比要求的输入信号的取值范围定义为动态范围。
因此，均匀量化时输入信号的动态范围将收到较大的限制。

5.4.1.2 非均匀量化

非均匀量化是一种在整个动态范围内量化间隔不相等的量化。
非均匀量化是根据输入信号的概率密度函数来分布量化电平，以改善量化性能。
量化电平必须集中在概率密度高的区域。在出现频率高的低幅度语音信号处，运用小的量化间隔，而在不经常出现的高幅度语音信号处，运用大的量化间隔。
实现非均匀量化的方法之一是把输入量化器的信号 $x$先进行压缩处理（非线性），再把压缩的信号 $y$进行均匀量化。
所谓压缩器就是一个非线性变换定路（常用对数量化器），微弱的信号被放大，强的信号被压缩。
通常使用的压缩器中，大多采用对数式压缩广泛采用的两种对数压扩特性是 $\mu$律压扩和 $A$律压扩，美国、日本和韩国等国家采用u压扩，我国和欧洲各国均采用A律压

• $\mu$律压扩
  $y=\frac{ln(1+\mu x)}{ln(1+\mu)},(0\leq x\leq 1)$
  $\mu=0$时，没有压缩， $\mu$值越大压缩效果越明显，一般取 $\mu=255$；
• $A$律压扩
  $y=\begin{cases} \frac{Ax}{1+lnA}&0<x \leq \frac{1}{A}\\ \frac{1+ln{Ax}}{1+lnA} &\frac{1}{A}<x \leq 1 \end{cases}$
  A=1时无压缩，A值越大压缩效果越明显。
  采用压扩，提高了小信号的量化信噪比
  由于对数压扩特性时连续曲线，且随压扩参数而不同，在于点路上实现这样的函数规律是相当复杂的，因而精度和稳定度都受到限制。改进——数字压扩技术：利用数字电路形成许多折线来逼近对数压扩特性。常用的两种：
• 13折线近似A律（适用于大信号）压缩特性（A=87.6）（美国、日本、韩国、台湾等地区的PCM24路基群中）；
• 15折线近似 $\mu$律（适用于小信号，量化信噪比高）压缩特性（ $\mu$=255）（欧洲、中国等地区的PCM 30/32路基群中）
  在A律特性分析中可以看出，取A=87.6由两个目的：
  （1） 使特性曲线远点附近的斜率凑成16；
  （2）使13折线逼近时， $x$的八个段落量化分界点近似于按2的幂次递减分割，有利于数字化。

5.4.2 编码和译码

5.4.2.1 码字和码型

在PCM中常用的二进制码型有三种：

• 自然二进码就是一般的十进制正整数的二进制表示。
• 格雷二进码是任何相邻电平的码组，只有以为码位发生变化，即相邻码字的距离恒为1。
• 折叠二进码是一种符号幅度码。左边第一位表示信号的记性，第二位至最后一位表示信号的幅度，由于正、负绝对值行同时，折叠码的上半部分与下半部分相对零电平对称折叠，故名折叠码，且其幅度码从小到大按自然二进码规则编码。

为什么语音编码用折叠二进码？
因为语音这样的双极性信号，只要绝对值相同，则可以采用单极性编码的方法，使编码过程大大简化；在传输过程中出现误码，对小信号影响较小

5.4.2.2 码位的选择与安排

逐次比较型编码器由极性判决（确定信号的极性）、整流器（变为单极性信号）、保持电路，比较器（核心：7次比较）及本地译码电路组成（译码的作用时把收到的PCM信号还原成相应的PAM样值信号，即进行D/A变换）。
本地译码：记忆电路（寄存）、7/11变换电路（非线性和线性地变换）和恒流源

5.4.2.3PCM信号的码元速率和带宽

由于PCM要用N位二进制代码表示一个抽样值，即一个抽样周期 $T_s$内要编 $N$位码，因此每个码元宽度为 $\frac{T_s}{N}$，码位越多，码元宽度越小，占用带宽越大。
（1）码元速率
$f_b=f_S\log_2M=f_sN$
（2）传输PCM信号所需的最小带宽
无码间串扰和采用理想低通传输特性时，所需最小传输带宽（奈奎斯特带宽）：
$B=\frac{R_B}{2}=\frac{Nf_s}{2}=Nf_H$
实际中用余弦滚降，所需传输带宽为：
$B=(1+\alpha)\frac{R_B}{2}=(1+\alpha)Nf_H$
若采用升余弦滚降，所需传输带宽为：
$B=(1+1)\frac{R_B}{2}=R_B=Nf_s$

5.4.3 PCM系统的抗噪声性能

分析PCM的系统性能将涉及两种噪声：量化噪声；信道加性噪声。
由于这两种噪声的产生机理不同，故可认为他们是互相独立的。
（1）仅考虑量化噪声的系统性能
量化信噪比：
$\frac{S_o}{N_q}=M^2=2^{2N}=2^{\frac{2B}{f_H}}$
（2）信道加性噪声的影响
误码率为：
$P_i=C_n^iPe$
通常只需要考虑仅有1位误码的码组错误

• 仅考虑信道加性噪声时，PCM系统的输出信噪比：
  $\frac{S_o}{N_e}=\frac{1}{4P_e}$
• 同时考虑量化噪声和信道加性噪声时，PCM系统输出端的总信噪功率比为：
  $\frac{S_o}{N_0}=\frac{E[m^2(t)]}{E[n_q^2(t)]+E[n_q^2(t)]}=\frac{2^{2N}}{1+4P_e2^{2N}}$

TIPS：自然码、均匀量化以及输入信号为均匀分布的前提下得到的

5.5 差分脉冲编码调制（DPCM）

定义：用样点之间的差值的编码来代替样值本身的编码，可以在量化台阶不变的情况（即量化噪声不变），编码位数显著减少，信号带宽大大压缩。这种利用差值的PCM编码成为差分PCM（DPCM）。
如何实现：差分编码的一个好办法是根据前面的k个样值预测当前时刻的样值编码信号只是当前样值与预测值（前一个样值）之间的差值的量化编码。
优点：信号带宽减小、量化信噪比增加

改进方法（ADPCM）：（语音信号动态范围较大，由于编码位数减少，信号带宽大大压缩）为了能在相当宽的变化范围获得最佳的性能，只有在DPCM基础上引入自适应系统。有自适应系统的DPCM成为自适应差分脉冲编码调制，简称ADPCM。

主要特点：自适应量化取代固定，自适应预测取代固定预测。

• 自适应量化：指量化台阶随信号的变化而变化，使量化误差减小；
• 自适应预测：指预测器系数（可以随信号的统计特性而自适应调整）（量化信噪比增益 $G_p$增加）。

通过这两改进，可大大提高输出信噪比和编码动态范围。

5.6 增量调制（ $\Delta M$）

5.6.1 简单增量调制

PCM与增量调制的本质区别：

• 在PCM中，代码表示样值本身的大小，所需码位数较多，导致编译码设备复杂；
• 而在增量调制中，它只用一位编码（二进制编码位数N为1，量化电平M为2）表示相邻样值的相对大小，从而反应抽样时刻波形的变化趋势，二与样值本身的大小无关。（是DPCM的一个特例）

增量调制对于PCM的优点：

• 编译码设备简单；
• 低比特率时的量化信噪比高
• 抗误码特性好等优点。

简单 $\Delta M$系统方框图
发送端编码器是：相减器、判决器（抽样定时）、脉冲发生器及积分器组成的一个闭环反馈电路

5.6.2 增量调制系统中的量化噪声

• 过载量化误差

输入模拟信号 $m(t)$斜率陡变时，本地译码器输出信 $m'(t)$跟不上信号 $m(t)$的变化， $m(t)$与 $m'(t)$之间误差明显增大，引起译码后信号的严重失真，这种现象叫过载现象，产生的失真称为过载失真，或称过载噪声。
$K=\frac{\sigma}{\Delta t}=\sigma \cdot f_s\\ |\frac{dm(t)}{dt}|_{\max} \leq \sigma \cdot f_s$
增大量阶，一般量化误差也大。
【简答】增量调制系统中的抽样速率为什么比PCM系统中的抽样速率高？
提高抽样速率 $f_s$对减小一般量化误差和减小过载噪声都有利。因此，系统中的抽样速率要比PCM系统中的抽样速率高的多。
编码的动态范围定义为：最大允许编码电平 $A_{\max}$与最小编码电平 $A_{\min}$之比
假设输入的模拟信号为 $m(t)=Asin(\omega_k t)$
其斜率为：
$\frac{dm(t)}{dt}=A\omega_kcos(\omega_kt)$
为了不发生过载失真
$A\omega_k \leq \sigma \cdot f_s$
则临界过载振幅为
$A_{\max}=\frac{\sigma \cdot f_s}{\omega_k}=\frac{\sigma \cdot f_s}{2\pi f_k}$
增量调制系统的抗噪声性能——输出信噪比
接收端低通滤波器的截止频率为 $f_m$，则经低通滤波器后输出的量化噪声功率为：

$N_q=\frac{\sigma^2f_m}{2f_s}$
$\Delta M$系统输出的量化噪声功率与量化台阶 $\sigma$及比值 $\dfrac{f_m}{f_s}$有关，而与输入信号幅度无关——未过载
量化信噪比：
$\frac{S_o}{N_q} \approx 0.04\frac{f_s^3}{f_k^2f_m}$
【结论】

• 简单 $\Delta M$的信噪比与抽样速率 $f_s$成立方关系，提高抽样频率 $f_s$能明显提高信号与量化噪声的功率比
• 量化信噪比与信号频率 $f_k$的平方成反比，简单 $\Delta M$时语音高频段的量化信噪比下降。

5.6.3 PCM与 $\Delta M$系统比较

本质区别：PCM是对样值本身编码， $\Delta M$是对相邻样值的差值的极性（符号）编码
（1）抽样速率
PCM系统:
抽样速率 $f_s$是根据抽样定理来确定。若信号哦最高频率为 $f_m$，则 $f_s \geq 2f_m$。对语音信号，取 $f_s=8kHz$
$\Delta M$系统：
传输不是不是信号本身的样值，而是信号的增量， $f_s$不能根据抽样定理来确定，在相同的信噪比的情况下，其远远高于PCM系统。
（2）带宽
PCM系统：
$R_B=Nf_s$
$\Delta M$系统：
$R_B=f_s$
PCM系统的传码率为64kHz， $\Delta M$系统的传码率为100kHz。 $\Delta M$系统占用带宽比PCM系统宽
（3）量化信噪比
PCM系统：
$\frac{S_o}{N_q}=M^2=2^{2N} \approx 6N(dB)$
$\Delta M$系统：
$\frac{S_o}{N_q} \approx 0.04\frac{f_s^3}{f_k^2f_m} \approx 10 \lg[0.32N^3(\frac{f_m}{f_k})^2](dB)$

在相同的信道带宽（即相同码元速率）下：
在码元速率较低时，增量调制性能优越（相比之下有编译码设备简单、量化信噪比高、抗误码特性好等优点）；
在编码位数多，码元速率较高时，PCM性能优越。
PCM量化信噪比与编码位数N成线性关系；增量调制的量化信噪比与N成对数关系。
误码对PCM系统的影响要比增量调制系统严重些；PCM编码设备复杂，但质量较好；增量调制设备简单。但很少用。