LeetCode 878. 第 N 个神奇数字

原题地址878. 第 N 个神奇数字

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如果正整数可以被 A 或 B 整除，那么它是神奇的。

返回第 N 个神奇数字。由于答案可能非常大，返回它模 10^9 + 7 的结果。

示例 1：
输入：N = 1, A = 2, B = 3
输出：2

示例 2：
输入：N = 4, A = 2, B = 3
输出：6

示例 3：
输入：N = 5, A = 2, B = 4
输出：10

示例 4：
输入：N = 3, A = 6, B = 4
输出：8

提示：
1 <= N <= 10^9
2 <= A <= 40000
2 <= B <= 4000

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算法

首先找出最大公约数C，如果C为A或B其中一个数，直接输出C*N；否则计算出最小公倍数D。

在一个最小公倍数的周期内即(i*D,(i+1)*D]，只有(i+1)*D可以同时整除A和B，其余的数最多仅能整除A或B其中一个。

每一个周期内，神奇的数的总数为D/A+D/B-1

因此把N除以D/A+D/B-1的余数n单独拿出来计算即可。

保证A<B之后，在一个公倍数周期内，A、B可以整除的神奇数分别有a=D/A、b=D/B，且a>b。

然后根据b每增加1，对应的a增加多少可以简化运算，使得结果更快得到第n个数

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代码 

class Solution:
    def nthMagicalNumber(self, N, A, B):
        """
        :type N: int
        :type A: int
        :type B: int
        :rtype: int
        """

        def gcb(p, q):
            if p == q:
                return p
            if p < q:
                return gcb(q, p)
            else:
                if p & 1:
                    if q & 1:
                        return gcb(p - q, q)
                    else:
                        return gcb(p, q >> 1)
                else:
                    if q & 1:
                        return gcb(p >> 1, q)
                    else:
                        return gcb(p >> 1, q >> 1) << 1

        C = gcb(A, B)
        if C == A or C == B:
            return C * N % 1000000007
        if A > B:
            A, B = B, A
        D = A * (B // C)
        a, b = D // A, D // B
        m, n = N // (a + b - 1), N % (a + b - 1)
        y = int(n / (a / b + 1))
        x = int(a / b * y)
        nowA, nowB = A * x, B * y
        while x + y < n:
            if nowA + A < nowB + B:
                nowA += A
                x += 1
            else:
                nowB += B
                y += 1
        return (max(nowA, nowB) + m * D) % 1000000007