Signal and Systems——Discussion(Two)

1.Assume $x(t) \xleftrightarrow[]{FT}X(j\omega)$, discuss the following problems:

1. Can $e^{ja \omega}X(\omega)$ be real, how?
2. Can $X(j\omega)$ be periodic, how?
3. Can $\int_{-\infty}^\infty{\omega X(j \omega) d\omega}$ be zero, how?
4. Can $Re ({{{X(j\omega)}}})=0$ or $Im(X{(j\omega)})=0$ , how?

Solve:
1). 根据题设有：
$x(t) \xleftrightarrow[]{FT}X(j\omega) \tag{1-1}$
结合FT的时移性质，有：
$x(t+a) \xleftrightarrow[]{FT} e^{ja \omega}X(\omega) =X_{1}(j\omega)\tag{1-2}$
根据尺度变换特性及共轭对称性,若：
$x(t) \xleftrightarrow[]{FT}X(j\omega) \tag{1-3}$
则有：
$x(-t) \xleftrightarrow[]{FT}X(-j\omega) \tag{1-4}$
$x^{*}(t) \xleftrightarrow[]{FT}X^{*}(-j\omega) \tag{1-5}$
可以看出，若要求 $X_{1}(j\omega)$ 为实，则需要有：
$X^{*}(j\omega)=X(j\omega) \tag{1-6}$
反映在时域上即为：
$x(t+a)=x^{*}(t+a) \tag{1-7}$
$x(t+a)=x(-t+a) \tag{1-8}$
即要求 $x(t)$ 为实信号，并且关于 $t=a$ 对称

2).根据对偶性，若：
$x(t) \xleftrightarrow[]{FT}X(j\omega) \tag{2-1}$
则有：
$X(t) \xleftrightarrow[]{FT}2\pi x(-j\omega) \tag{2-2}$
根据所学，周期信号的FT为频域的冲激串，即若 $x(t)$ 为周期信号，则：

$x(t) \xleftrightarrow[]{FT}X(j\omega) \tag{2-3}=2 \pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k} \delta(\omega- k\omega_{0})$

则根据对偶性：
$X(t) \xleftrightarrow[]{FT}2\pi x(-j\omega) \tag{2-4}$
$x(-j\omega)$ 即为频域上的周期信号。

综上：要求时域上的信号为冲激串形式，才可以保证其FT为周期信号。

3). 根据IFT：
$x(t)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty{e^{j\omega t}X(j \omega) d\omega} \tag{3-1}$

两边同时对 $t$ 求导有：
$x^{'}(t)=\int_{-\infty}^\infty{j\omega X(j \omega)e^{j\omega t} d\omega} \tag{3-2}$
令 $t=0$ ,有：
$x^{'}(0)=\int_{-\infty}^\infty{j\omega X(j \omega )d\omega} \tag{3-3}$
令其为0，即为 $x^{'}(t)=0$

4).根据共轭对称性，若要求 $X(j\omega)$ 实部为0，即为要求 $X(j\omega)$ 为纯虚数，推导如下：
若：
$x(t) \xleftrightarrow[]{FT}X(j\omega) \tag{3-4}$
则有：
$x(-t) \xleftrightarrow[]{FT}X(-j\omega) \tag{3-5}$
$x^{*}(t) \xleftrightarrow[]{FT}X^{*}(-j\omega) \tag{3-6}$

现在要求： $-X(j\omega)=X^{*}(j\omega) \tag{3-7}$
反映在时域上为：
$x(t)=x^{*}(t) \tag{3-8}$
$x(t)=-x(-t) \tag{3-9}$
即要求 $x(t)$ 为实奇信号。

同理，对于 $X(jw)$ 虚部为0，有：

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$X(j\omega)=X^{*}(j\omega) \tag{3-10}$
$x(t)=x^{*}(t) \tag{3-11}$
$x(t)=x(-t) \tag{3-12}$
即要求 $x(t)$ 为实偶信号。

2
a) A sound signal $x(t)$ is broadcasted in a reverberating room, which can be modeled as a system with the impulse response of $h(t)= \sum_{k=0}^{+\infty} e ^{-kT} \delta(t- kT)$ . Design a system that can recover $x(t)$ from the reverberated sound signal.

b) When the room impulse response is modeled as $h(t)= \sum_{k=0}^{K} a_{k} \delta(t- kT)$ , can we design a causal system that can recover $x(t)$ from the reverberated sound signal? Specify the reason.

c) Summarize time-domain and frequency-domain methods of finding the inverse system of an LTI system.
Solve:
a)
令 $y(t)=x(t)*h(t)\tag{1-1}$
若要加一系统 $h_{1}(t)$,使得：
$y(t)*h_{1}(t)=x(t) \tag{1-2}$
则需：
$h(t)*h_{1}(t)=\delta(t)\tag{1-3}$
故有：
$h_{1}(t)= \sum_{k=0}^{+\infty} e^{kT} \delta(t+ kT) \tag{1-4}$

b)
同理，若要恢复 $x(t)$,则应该将 $h_{2}(t)$ 设计为：
$h_{1}(t)= \sum_{k=0}^{K} \frac{1}{a_{k}} \delta(t+ kT) \tag{1-5}$

但此时 $h_{2}(t)$ 并不是一个因果系统。所以，不可设计一个因果系统恢复 $x(t)$ 。

c)
在时域上寻找一个系统 $h(t)$ 的逆系统 $h_{inv}(t)$ ,则寻找依据是：
$h(t)*h_{inv}(t)=\delta(t) \tag{1-6}$
而在频域上寻找一个系统 $h(t)$ 的逆系统 $h_{inv}(t)$ ,寻找依据是：
$H(\omega)H_{inv}(\omega)=1 \tag{1-7}$

3.In communication system, single-banded modulation is an effective way to save the spectrum resource. Figure 1 shows the structure of the system that realizes the single-banded modulation.

(a)Please give an example to verify the system can realize single-banded modulation.

(b)Design a system that can recover $f(t)$ from $y(t)$.

Slove:
a) 考虑如下信号：

根据上图关系有：
$y_{3}(t)=cos(w_{0}t)f(t) \tag{1-1}$
$y_{1}(t)=f(t)*h(t) \tag{1-2}$
$y_{2}(t)=sin(w_{0}t)y_{1}(t) \tag{1-3}$
$y(t)=y_{2}(t)+y_{3}(t) \tag{1-4}$

求解 $Y_{3}(\omega)$ :

根据相乘性质：
$Y_{3}(j \omega)=\frac{1}{2\pi}(\pi\delta(\omega-\omega_{0})+\pi\delta(\omega+\omega_{0}))*F(\omega)\tag{1-5}$化简后即为：

$Y_{3}(j \omega)=\frac{1}{2}(F(\omega-\omega_{0})+F(\omega+\omega_{0})) \tag{1-6}$
频谱如下：

求解 $Y_{1}(j\omega)$:
$Y_{1}(j\omega)=H(j\omega)F(j\omega) \tag{1-7}$

考虑如下信号：
$sgn(t)=2u(t)-1 \tag{1-8}$
图像如下：

已知：
$u(t) \xleftrightarrow[]{FT}\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega) \tag{1-9}$

根据FT的线性性质，有：
$S(\omega)=\frac{2}{j\omega}+2\pi\delta(\omega) -2\pi\delta(\omega)=\frac{2}{j\omega}\tag{1-10}$

根据对偶性：
$S(t)=\frac{2}{jt}\xleftrightarrow[]{FT}2\pi sgn(-\omega)=-2\pi sgn(\omega) \tag{1-11}$
化简整理可得：
$h(t)=\frac{1}{\pi t}\xleftrightarrow[]{FT}-jsgn(w)=H(\omega) \tag{1-12}$
图像如下：

故 $Y_{1}(\omega)$ 图像如下：

求解 $Y_{2}(\omega)$:
$Y_{2}(\omega)=\frac{1}{2\pi} Y_{1}(\omega)*\frac{\pi}{j}(\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})) \tag{1-13}$

图像如下：

求解 $Y(\omega)$:
$Y(\omega)=Y_{2}(\omega)+Y_{3}(\omega) \tag{1-14}$

图像如下：

所以，可以看出，对于输入 $x(t)$ 信号，输出的频谱是输入频谱调制并去除冗余部分的结果。

b) 先与一个频谱为 $H(\omega)=\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})$ 的系统在频域卷积，得到频谱 $Y_{4}(\omega)$,图如下：

将其再经过一个低通滤波器 $H_{1}(\omega)$ 即可，其中：

即可恢复出输入信号。
4.The signal in Figure 2a is a band limited signal, which is also called as bandpass signal. Figure 2b is the sampling and reconstruction system, where
$h_{1}(t)= \sum_{l=-\infty}^{+\infty}\delta(t- lT_{s})$

(a)According to the Nyquist sampling theorem, what condition should the sampling angular frequency satisfy?

(b)If the filter $H(\omega)$ is shown in Figure 2c, $\omega_{1}=\omega_{2}-\omega_{1}$ If the sampling angular frequency $\omega_{s}$ doesn’t satisfy the Nyquist sampling theorem, can $f(t)$ be covered from $y(t)$ ? If yes, please determine $\omega_{s}$

Solve:
a)
$\omega_{M}=\omega_{2}\tag{1-1}$
$\omega_{s} \geq 2\omega_{M}=2\omega_{2} \tag{1-2}$

b)
根据 $p(t)$ 的表达式，可以得到 $P(\omega)$ 为：

若采样信号不满足奈奎斯特采样定理，即 $\omega_{s} \leq 2\omega_{2}$,
其中 $\omega_{2}=2\omega_{1}$ ,假设 $\omega_{s}=\omega_{2}=2\omega_{1}$,则有 $Y_{1}(\omega)$ 图像如下：

通过上图滤波器后，即得到输入信号，此时 $\omega_{s}=\omega_{2}=2\omega_{1}$