G - Eva's Balance (3进制&数论）

G - Eva’s Balance (3进制&数论）

题意：给 $20$个 $3$的幂次方数： $3^0,3^1,3^2\dots3^{19}$和一个数 $n$，要求用这 $20$个数中若干个使左右两个秤盘数之和相等.
（ $n$开始被放在左盘）

思路：因为都是 $3$的幂次方,题目等价于构造两个 $3$的幂次方之和相减等于 $n$,所以考虑 $3$进制下来表示 $n$.

所以 $n$被转化为 $0,1,2$的数字串。当该位 $pos_i$为 $0或1$时,显然可以不会用到 $3^{i}$或者直接抵消掉。

当 $pos_i=2$时,因为 $2\times 3^i=3\times3^i-3^i=3^{i+1}-3^i$。所以等价于 $pos_{i+1}+1$然后 $pos_i=-1$。

当 $pos_i=3$时,显然 $3\times 3^i=3^{i+1}$，所以等价于 $pos_{i+1}+1,pos_i=0$.然后再根据 $pos$的正负情况，将负的给左盘，正的给右盘，此题就解决了。

时间复杂度： $O(log_3n\times log_2n)$

AC代码:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e3+5,inf=0x3f3f3f3f;
int a[N],n,t;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
int ksm(int a,int n){ //快速幂板子. 
	int ans=1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*a;
		a=a*a;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		mst(a);
		int k=0;
		while(n){ //转换为三进制. 
			a[++k]=n%3;
			n/=3;
		}
		int f1=0,f2=0;//用来控制格式(逗号) 
		for(int i=1;i<=k+1;i++){ //重点转换. 
			if(a[i]==2) a[i]=-1,a[i+1]++;
			else if(a[i]==3) a[i]=0,a[i+1]++;
		}
		for(int i=1;i<=k+1;i++){ //输出 注意是可能k+1位. 
			if(a[i]==-1){
				if(f1) printf(",%d",ksm(3,i-1));
				else f1=1,printf("%d",ksm(3,i-1));
			}
		}
		if(!f1) printf("empty");
		printf(" ");
		for(int i=1;i<=k+1;i++){
			if(a[i]==1){
				if(f2) printf(",%d",ksm(3,i-1));
				else f2=1,printf("%d",ksm(3,i-1));
			}
		}
		if(!f2) printf(" empty");
		puts("");
	}
	return 0;
}