题目
题目大意
题目给出一种序列表示方式，可以表示为 1 12 123 1234 … 12345678910 …（序列不带空格）。也就是说序列可被分组，第 i 组包含的是1到 i 的所有数字。题目给出多个询问要求每次得到序列中第 k 位的数字。注意 k 要能取到 10^18.
解题思路
首先说明题目序列的含义和询问方式，k的最大取值就是序列的最长长度，并且本题中要按照 k 位来查找，这就使得序列中两位以上的数字很难处理，也就是要将序列分为若干个大组，每个大组包含多个小组。大组可以按照1~9,10~99,100~999,…这样的方法来分，因为每一小组内最大数字的位数相同，同时这样分组可以降低之后定位是的时间复杂度，这一点对于10^18的数据量非常关键。
分好组后，我们需要得到每一大组及其之前大组所包含的元素总和，以便定位 k 所在的大组，这一点可以用等差数列的求和思路来做。同时我们还要能确定每一大组的小组内，不同位数数字的分界点，以便找到 k 对应的位置所对应数字的位数，方便从这个数字中取一位（思路复杂，反复琢磨）。需要用到二分查找的地方就是要去除 k 对应大组内所有在 k 对应小组之前的小组的元素数。之后由上面说过的方法，再去除 k 对应小组内所有位数小于 k 对应数字位数的元素和，这样 k 表示的值就是 k 对应数字的从左往右第 k 位。之后只要找到这一位就可以了，注意细心。
本题在CSP模拟时的数据量十分庞大，要远大于POJ上的情况，因此POJ上的题解是不能直接使用的。据我观察，POJ上的大多题解是直接按照小组来存贮组内元素个数，然后寻找 k 对应的小组，这样自然是比直接暴力寻找快一些，但还是达不到本次题目要求，所以必须要采用两次分组。但是两次分组更加繁琐易错，一定要十分细致准确理解数组的含义和上述确定数字的方法。
具体代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
#define ll long long
#define MAXN 10005
#define inf 1e9
using namespace std;
ll q,l,r,k,t,mid,L,R,cnt;
ll a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],d[MAXN];
void in(long long &x){
long long y=1;char c=getchar();x=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')y=-1;c=getchar();}
while(c<='9'&&c>='0'){ x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
x*=y;
}
void out(long long x){
if(x<0){putchar('-');x=-x;}
if(x>9) out(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
void init()
{
c[1] = 1;
for(ll i = 2; i <= 9; ++i)
{
c[i] = c[i-1] * 10;
}
k = 9;
for(ll i = 1; i <= 9; ++i)
{
l = r + i;
r = (k - 1) * i + l;
a[i] = a[i-1] + (l + r) * k / 2; //a[i]每次加上第10^(i-1)组到第10^i-1组之间总元素个数，因此表示第10^i-1组及之前总元素个数
k *= 10;
}
k = 9;
for(ll i = 1; i <= 9; ++i)
{
b[i] = b[i-1] + k * i; //b[i-1]+i表示第10^i组起点编号
k *= 10; //b[i]还可以表示最大元素为i+1位数的组内所有位数小于i的数的元素个数和
}
}
bool check(ll x) //确定x是否是k之前包含的该大段内的组数
{
ll l = b[t-1] + t, r = l + (x - 1) * t;
return ((l + r) * x / 2) < k;
}
ll sum(ll x) //减去k之前包含的该大段内的组数的总元素数
{
ll l = b[t-1] + t, r = l + (x - 1) * t;
return (l + r) * x / 2;
}
void sol(ll x) //将连续数字分解
{
if(x > 9)
{
sol(x/10);
}
d[++cnt] = x % 10;
}
int main()
{
init();
in(q);
while(q--)
{
in(k);
for(ll i = 1; i <= 9; ++i)
{
if(a[i] >= k)
{
t = i;
break;
}
}
k -= a[t-1];
l = 1; r = 1e9;
while(l < r)
{
mid = (l + r) >> 1;
if(check(mid)) l = mid + 1;
else r = mid;
}
k -= sum(l-1);
for(ll i = 1; i <= 9; ++i)
{
if(b[i] >= k)
{
t = i;
break;
}
}
k -= b[t-1];
L = k / t;
R = k % t; //位数相同的第L个数字倒数第R位
if(R == 0)
{
ll tmp = c[t] + L - 1;
out(tmp%10);
putchar('\n');
}
else
{
cnt = 0;
ll tmp = c[t] + L;
sol(tmp); //把数字分解成数组
out(d[R]); //取分解到数组中的数的第R位，就是对应序号k的结果
putchar('\n');
}
}
return 0;
}
