洛谷AT2444 JOIOI 王国题解

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$\color{orange}{亲测可以通过}$

题意

$JOIOI$王国是一个 $H$行 $W$列的长方形网格，每个 $1\times1$的子网格都是一个正方形的小区块。

为了提高管理效率，我们决定把整个国家划分成两个省 $JOI$和 $IOI$。

我们定义，两个同省的区块互相连接，意为从一个区块出发，不用穿过任何一个不同省的区块，就可以移动到另一个区块。有公共边的区块间可以任意移动。

我们不希望划分得过于复杂，因此划分方案需满足以下条件：

• 区块不能被分割为两半，一半属 $JOI$省，一半属 $IOI$省。
• 每个省必须包含至少一个区块，每个区块也必须属于且只属于其中一个省。
• 同省的任意两个小区块互相连接。
• 对于每一行/列，如果我们将这一行/列单独取出，这一行/列里同省的任意两个区块互相连接。这一行/列内的所有区块可以全部属于一个省。
  
  
  
  现给出所有区块的海拔，第 $i$行第 $j$列的区块的海拔为 $A_{i,j}$。设 $JOI$省内各区块海拔的极差（最大值减去最小值）为 $R_{JOI}$， $IOI$省内各区块海拔的极差为 $R_{IOI}$。在划分后，省内的交流有望更加活跃。但如果两个区块的海拔差太大，两地间的交通会很不方便。 因此，理想的划分方案是 $\max(R_{JOI}, R_{IOI})$尽可能小。
  
  你的任务是求出 $\max(R_{JOI}, R_{IOI})$的最小值
  

思路

首先，根据题意，假设所选取的某一个省图像必须为一个阶梯状，这样才能符合横竖中没有被岔开的。

因为要求是最大的值最小，很显然，可以进行二分答案。

对图中的方差，得到最大值和最小值，答案的方差一定会是在 $0$ ~ $max-min$的范围内。

那么分别就设定了 $l$和 $r$， $mid$就是二分的答案。

那么，怎么验证这个 $mid$是否合法呢？

这里，我们划分的图像为不上升的阶梯。

假设前一个阶梯划分的位置为 $x$，并且最大值会在被划分的这个阶梯里

那么如果当前阶梯的 $max - 任意元素 \le mid$ 并且 $另一阶梯的任意元素 - min \le mid$.

那么当前阶梯的划分位置是在 $0$ ~ $x$的

当前阶梯的划分位置应该在哪里呢？

因为我们不但要满足当前阶梯满足 $max - 任意元素 \le mid$

并且另一个阶梯应该满足 $任意元素 - min \le mid$

发现当满足当前阶梯时，尽量多的选取一定会让另一个阶梯更容易被满足。

所以当前阶梯的划分位置要尽可能大。
这样得到一个答案后，并不一定是最小的。为什么呢？

因为答案的划分可能是左右或上下的不上升或不下降的。

一开始我们只得到了一种情况的最优解，这时候我们还需要进行 $3$次旋转

即对于90°, 180°, 和270°的情况进行依次求解取最优的。

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <queue>
#define pk putchar(' ')
#define ph puts("")
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void rd(T &x)
{
    x = 0;
    ll f = 1;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    x *= f;
}
template <class T>
void pt(T x)
{
    if (x < 0)
        putchar('-'), x = (~x) + 1;
    if (x > 9)
        pt(x / 10);
    putchar(x % 10 ^ 48);
}
template <class T>
T Max(T a, T b)
{
    return a > b ? a : b;
}
template <class T>
T Min(T a, T b)
{
    return a < b ? a : b;
}
template <class T>
T Fabs(T x)
{
    return x < 0 ? -x : x;
}
const int N = 2005, INF = 0x3f3f3f3f;
int a[N][N], h, w;
void Swap(int &x,int &y)
{
	x ^= y;
    y ^= x;
    x ^= y;
}
void Turnh()
{
	for (int i = 1; i <= h; i++)
		for (int j = 1; j <= w / 2; j++)
			Swap(a[i][j], a[i][w - j + 1]);
}
void Turnw()
{
	for (int i = 1; i <= h / 2; i++)
		for (int j = 1; j <= w; j++)
			Swap(a[i][j], a[h - i + 1][j]);
}
int ans = INF, maxx, minn = INF;
bool Check(int x)
{
	int Pre = w + 1;
	for (int i = 1; i <= h; i++)
	{
		int mid = 0;
		for (int j = 1; j <= Min(Pre, w); j++)
			if (maxx - a[i][j] <= x)
				mid = Max(mid, j);
			else 
                break;
		Pre = mid;
		for (int j = mid + 1; j <= w; j++)
			if (a[i][j] - minn > x)
				return 0;
	}
	return 1;
}
int mid_cut()
{
    int l = 0, r = maxx - minn;
	while (l <= r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if (Check(mid))
			r = mid - 1;
		else 
            l = mid + 1;
	}
    return l;
}
int main()
{
	rd(h), rd(w);
	for (int i = 1; i <= h; i++)
		for (int j = 1; j <= w; j++)
			rd(a[i][j]), maxx = Max(maxx, a[i][j]), minn = Min(minn, a[i][j]);
	ans = Min(ans, mid_cut());
	Turnh();
	ans = Min(ans, mid_cut());
	Turnw();
	ans = Min(ans, mid_cut());
	Turnh();
	ans = Min(ans, mid_cut());
	pt(ans), ph;
    return 0;
}

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