ackermann函数——递归习题

源于SICP中一道习题。

下面过程计算一个成为Ackermann函数的数学函数：

(define (A x y)
	(cond ((= y 0) 0)
		  ((= x 1) (* 2 y))
		  ((= y 1) 2)
		  (else (A (- x 1)
		           (A x (- y 1))))))

下面各表达式的值是什么：
(A 1 10)
(A 2 4)
(A 3 3)

等价的数学函数表达式为：
$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0 & ,y=0\\ 2y& ,x=0\\ 2 & ,y=1 \\ f(x-1,f(x, y-1)))& ,else \end{matrix}\right.$
首先，这个函数是用递归定义的。它包含边界值和递归式。

边界值：
（1） $f(x,0)=0$
（2） $f(x,1)=2$
（3） $f(0,y)=2y$
递归式（递推公式）：
（1） $f(x,y)=f(x-1, f(x, y-1))$

求
(A 1 10)
(A 2 4)
(A 3 3)
等价于求
$f(1,10)$
$f(2,4)$
$f(3,3)$

求 $f(x,y)$的步骤：

• 先求 $f(x,y-1)=a$
• 然后求 $f(x-1,a)$

问题求解如下：

(A 3 3)
(A 2 (A 3 2))
(A 2 (A 2 (A 3 1)))
(A 2 (A 2 2))
(A 2 (A 1 (A 2 1)))
(A 2 (A 1 2))
(A 2 (A 0 (A 1 1)))
(A 2 (A 0 2))
(A 2 4)
$2^{16}$

可总结出：

$f(0,n)=2n$

$f(1,n)=f(0,f(1,n-1))=2f(1,n-1)$
$=2^2f(1,n-2)=2^{n-1}f(1,1)=2^n$

这个递归函数的设计非常有意思，递归式 $f(x,y)=f(x-1, f(x, y-1))$非常像一个查表游戏。把递归计算过程视作查表，有利于理解该函数。
假设这张表（矩阵）是存在的。要求 $f(x,y)$，首先要查同一行中的前一个元素 $f(x,y-1)$,然后利用该值到上一行中查找 $f(x-1,f(x,y-1))$。
例如要求 $f(2,4)$，先在表中查找前一个元素 $f(2,3)=16$，然后在上一行中查找 $f(1,16)=2^{16}$。
同样求 $f(2,5)$，先在表中查找前一个元素 $f(2,4)=2^{16}$，然后在上一行中查找 $f(1,2^{16})=2^{2^{16}}$。

事实上，表是不存在的，在计算 $f(x,y-1)=a$和 $f(x-1,a)$时同样需要递归求解。而且对于很小的参数值，递归深度已经非常深。例如求 $f(2,5)$过程中需要求 $f(1,2^{16})$，仅查找同一行内的前一元素 $f(x, y-1)$就需要 $2^{16}$次。