GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（05）

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视图/摄像机变换

确定投影范围

上一节说了投影实质上是通过一个长方体（正交投影）或者视锥（透视投影）限定一个范围，然后把范围内的坐标投影在二维空间上，所以这里涉及到了如何为不同的投影方式确定范围。

正交投影

正交投影比较好理解，即如何定义一个长方体，我们只需要知道高，宽和深坐标。所以需要的参数是height_start,height_end, width_start,width_end, znear（近平面）, zfar（远平面）六个参数

透视投影

透视投影需要定义的范围是一个视锥，而一旦确定了视锥就可以通过上文的l逻辑来构造透视投影矩阵，范围如图所示：
我们这里从二维平面来讨论构建透视矩阵需要哪些参数，先把视锥往zoy平面压平，然后只取视锥的上半部分，结果如下图所示：

fovY表示视野角度，同时已知近平面深度为n，远平面深度为f，宽高比为aspect，所以可以通过相似三角形和角度关系求得：
$\tan \frac{f o v Y}{2}=\frac{t}{|n|}$
$\text {aspect}=\frac{r}{t} → r= {aspect} \cdot {t}$
即构建透视矩阵需要视野角度fov，宽高比，znear, zfar四个参数。

视口变换

在M（model）V（view）P（projection）变换之后，我们已经得到了三维坐标在二维屏幕上的投影，同时也得到了投影区域(Canonical Cube)。之后所需要的就是视口变换。视口变换是把三维坐标与屏幕上指定的区域进行映射，简单来说就是我们在屏幕上规定了一块区域，然后将我们投影的坐标规定好，只能画在这块区域中，这就是视口变换所做的事情。

屏幕空间

既然要找到这个映射关系，那么屏幕自身也应该有自己的坐标系，也就是屏幕空间。我们可以把屏幕上的像素看成是像素的矩阵形式，它的x，y坐标都是从0,0开始的，里面每一个坐标都可以看做包含了一个像素。

屏幕空间的标准化

这一步需要把Canonical Cube $∈[-1,1]^{2}$ 变换到 $[0, \text { width }] \times[0, \text { height }]$，width和height就是视口变换所需要规定的区域的长和宽。

这一步变换可以看成是二维平面上矩阵的平移和缩放，故有以下变换公式：
$M_{\text {viewport}}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{\text {width}}{2} & 0 & 0 & \frac{\text {width}}{2} \\ 0 & \frac{\text {height}}{2} & 0 & \frac{\text {height}}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

光栅化

在视口变换之后，我们已经在屏幕上规定了一块区域用于映射对应的坐标，所以后面就需要通过光栅化来把三维图元映射成二维像素。光栅化也分为光栅化线和三角形，下面主要讲光栅化三角形

为什么选取三角形

①基础图元：三角形可以看成是基础图元，用它可以构建出不同的图元
②平面：一个三角形必定是一个平面
③内外定义：三角形是可以通过顶点环绕顺序来描述其内外性的，方便做面剔除等操作
④插值：三角形内部插值十分方便

如何确定三角形在屏幕上的像素

当输入三角形顶点坐标时，如何判断对应屏幕上的像素区域？答案是采样

采样

采样就是对方程离散化的一个过程，在这里我们通过对每一个像素进行判断，如果它的中心点在三角形内部，那么它就是属于三角形的，我们应该在屏幕上将其画出来，而判断方法之前也说过，可以通过叉乘来实现

所以当给定一个三角形时，我们只需要确定其包围盒范围 $[xmin,xmax]$ 和 $[ymin,ymax]$ ，那么对应的伪代码就可以写出来：

 for (int x = 0; x < xmax; ++x)   
	 for (int y = 0; y < ymax; ++y)     
	 	image[x][y] = inside(tri,x + 0.5,y + 0.5);  // 判断点是否在三角形内部

当然还有其他更快的画三角形方式：