动态规划（三）走金字塔问题

       除了前两篇简单介绍的背包问题，走金字塔问题也是被常常提及的动态规划例子，本篇文章简单分析该问题。

       走金字塔的问题形式如下：有一个数字金字塔，例如：

                 13
                 11   8
                 12   7   26
                  6   14  15  8
                 12   7   13  24  11

       查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大，每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。本篇主要讲怎么输出最大的数字和。

       使用动态规划解决的问题一般有重叠子问题，此时常常用自底向上的方式来进行计算最优值，该问题也是如此。以上面金字塔中的数据为例，分析过程分为两步：

          1、以第4行第1列数据(即i = 3，j = 0)为例，要想求得整体路径的最大值，就要保证从数据从第5列叠加到第4列的过程中，第4列的数据要与相邻的较大值进行相加，也就是要进行下一层相邻元素的比较：即max(arr[i + 1][ j ],arr[i + 1][j + 1])。

          2、比较之后就要把下一层相邻元素的较大值与自身相加，更新自身。假设上一步比较得出的较大值为tmpMax，即这步要进行的动作为：arr[ i ][ j ] += tmpMax。

        将两步综合起来，即走金字塔的完整步骤。Java代码如下：

            int[ ][ ] arr = {
                 {13},
                 {11,8},
                 {12,7,26},
                 {6,14,15,8},
                 {12,7,13,24,11}
            };
            

            //不断由下往上更新最大值
            for(int i = arr.length-2; i>=0; i--){
                for(int j = 0; j <= i; j++){
                     arr[ i ][ j ] += Math.max(arr[ i+1 ][ j ], arr[ i+1 ][ j+1 ]);
                }
            }
         
           System.out.println(arr[0][0]);