差分定义
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差分（difference）又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具。它将原函数f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。总而言之，差分对应离散，微分对应连续。差分又分为前向差分、向后差分及中心差分三种。
在社会经济活动与自然科学研究中,我们经常遇到与时间t有关的变量,而人们往往又只能观察或记录到这些变量在离散的t时的值。对于这类变量,如何去研究它们的相互关系,就离不开差分与差分方程的工具。微积分中的微分与微分方程的工具,事实上来源于差分与差分方程.因此差分与差分方程更是原始的客观的生动的材料。
读者熟悉等差数列：a
1 a
2 a
3……a
n……，其中a
n
+1
= a
n + d（ n = 1,2,…n ）d为常数，称为公差， 即 d = a
n
+1 -a
n , 这就是一个差分, 通常用D(a
n) = a
n
+1- a
n来表示，于是有D(a
n)= d , 这是一个最简单形式的差分方程。
定义. 设变量y依赖于自变量t ,当t变到t + 1时,因变量y = y(t)的改变量D y(t)= y(t+1) - y(t)称为函数y(t)在点t处步长为1的(一阶)差分,常记作D yt= yt+1- yt ,简称为函数y(t)的(一阶)差分,并称D为差分算子。
差分具有类似于微分的运算性质。
前向差分
函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数f(x)，如果在等距节点：
则称Δf(x)，函数在每个小区间上的增量y(k+1)-yk为f(x)的一阶前向差分。在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为Delta算子，一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低1。
向后差分
对于函数
，一阶向后差分为：
中心差分
对于函数
，一阶中心差分为：
差分的阶
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首先我们来看在“无限演算”中所使用的
Df(x) = Limit[f(x+h)-f(x),h -> 0]
这是定义
微分算子D的性质。“有限演算”基于由
Δf(x)=f(x+1）-f(x)
定义在
差分算子Δ的性质上。
差分与微分有许多类似的性质（事实上微分可认为是差分的极限），对于幂函数的微分有
D(x^m) = m * x^(m-1） dx
我们寻找一种类似的差分性质：
设：
Mi(x,m) = x(x-1）（x-2）…（x-m+1） ， 整数 m > 0
Mi(x,m) = x/((x+0)(x+1）（x+2）…（x+m）），整数 m ≤ 0
那么
ΔMi(x,m) = m * Mi(x,m-1） .
逆差分
定义了差分，那么就有其逆算子，我们称之为
逆差分：
g(x) = Σf(x) + C
Σ为
逆差分算子，g(x) 为 f(x) 的逆差分，C是在x,x+1,x+2……上为任意常数的函数，我们可以使用逆差分来进行求和运算：
Sum[f(x),{x,m,n-1}] (Mathematica语法）
= Sum[g(x+1）-g(x),{x,m,n-1}]
= g(n) - g(m)
注：Sum即Σ逆差分算子。
这里我们可以求出一些函数的逆差分：
ΣMi(x,m) = Mi(x,m+1）/(m+1） + C,
Σ1/x = H(x-1） + C,H(x) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/x,
Σ2^x = 2^x + C,
Σ1 = x + C
例 求：
Sum[x^2,{x,0,n}] (Mathematica语法）
= Sum[Mi(x,2） + Mi(x,1），{x,0,n}]
= Sum[Mi(x,2），{x,0,n}] + Sum[Mi(x,1），{x,0,n}]
= (Mi(n+1,3） - Mi(0,3））/3 + (Mi(n+1,2） - Mi(0,2））/2
= n（1+n）（1+2n)/6
因为：
Δ（u(x)*v(x))
= u(x+1）*v(x+1） - u(x)*v(x)
= u(x+1）*v(x+1） - u(x+1）*v(x) + u(x+1）*v(x) - u(x)*v(x)
= u(x+1）*Δv(x) + v(x)*Δu(x)
所以：
v(x)*Δu(x) = Δ（u(x)*v(x)) - u(x+1）*Δv(x)
所以：
Σv(x)*Δu(x) = u(x)*v(x) - Σu(x+1）*Δv(x)
例 求：
Σx*H(x)
= ΣH(x）ΔMi(x,2）/2
= H(x) * Mi(x,2）/2 - ΣMi(x+1,2）/2*ΔH(x)
= H(x) * Mi(x,2）/2 - ΣMi(x+1,2）/2 * 1/(x+1）
= H(x) * Mi(x,2）/2 - Σx/2
= H(x) * Mi(x,2）/2 - Mi(x,2）/4 + C
差分方程
差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。 比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1] （注：解为y(x)=e^(-x)); 要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1）/n,1] 这样上述微分方程可以离散化为：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组） 利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。
应用
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差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具，常用函数差近似导数。
一阶导数的差分表示
由泰勒公式：
取
可得向前差分公式：
取
可得向后差分公式：
取
，
分别取
并将两式相减，可得中心差分公式：
二阶导数的差分表示
由泰勒公式：
取
，
分别取
并将两式相加，可得中心差分公式：
- 参考资料