DP summary

1.思路方向

刷表法–考虑每个状态影响到的状态
填表法–考虑每个状态的依赖
状态方向：has/remain
完全背包问题

• 总体积不超过T的情况下最大重量dp[T]=dp[T-v[i]]+w[i]

• 总体积剩余T时最大重量dp[T]=dp[T-v[i]]+w[i]

• 总体积达到T后还剩余的最大重量dp[T]=dp[T+v[i]]+w[i]

这时可以综合考虑刷表/填表法需要啊考虑的因素区别+思考方向是否习惯,另一方面可根据搜索元素的顺序调整内外循环顺序,如下

for(i=0;i<m;++i)for(j=t-v[i].g;j>=0;--j)
	dp[j]=max(dp[j],dp[j+g[i]]+w[i]);

小结:

(1)最后的处理

如果聚零为整(不断累加背包，看影响后面的价值)，最后要求min/max_element–>

如果化整为零(最大容量减少),最后只需求端点值

(2)涉及求字典序(或涉及dp的序号获取)

法1:去掉不可达结点，初始化为-inf(max)inf(min)

法2:加入实际has数组

2.经典模型总结

• 线性dp
  LCS最大连续子序列和

连续关系–>一位递推，看末位

LIS最大上升子序列

每次刷新(长度不变时让某位更小)

for(i=0;i<n;++i){
    scanf("%d",&m);
    fill(dp,dp+40000,60000);
    for(j=0;j<m;++j){
        scanf("%d",&x);
        *lower_bound(dp,dp+m,x)=x;
    }
    printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+m,60000)-dp);
}

LCS最长公共子序列

看两个末尾(交叉型+递推型，加个空间保存上一行即可)

for(int i=0;i<strlen(a);++i){
    for(int j=0;j<strlen(b);++j){
        if(a[i]==b[j])dp[j]=(j-1<0?0:last[j-1])+1;
        else dp[j]=max(j-1<0?0:dp[j-1],last[j]);
    }
    last=dp;
}
printf("%d\n",dp[strlen(b)-1]);

完全背包

递推被前面结果影响

for(int i=0;i<m;++i){
    scanf("%d%d",&v,&p);
    for(int j=n;j>=v;--j)
    dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+v*p);
}
printf("%d",dp[n]);

01背包

递推不能被前面结果影响

for(i=0;i<m;++i)scanf("%d%d",&g[i],&w[i]);
for(i=0;i<m;++i)for(j=t-v[i].g;j>=0;--j)
dp[j]=max(dp[j],dp[j+g[i]]+w[i]);
printf("%d",dp[0]);

• 树形dp