【leetcode系列】【面试题】【中等】硬币

题目：

题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/coin-lcci/

解题思路：

方法一：

总钱数使用方程式表达为：，所以其实是求这个方程a、b、c、d整数解的个数

所以最简单的数学方法，就是3层循环，第一层固定a，第二层固定b，第三层固定c

简单优化的话，在固定了第一层和第二层之后，第三层其实也就能固定下来了

时间复杂度为：

方法二：

从时间复杂度上看，第一种方法时间复杂度过于高了，那如何使用数学方法去简化呢

可以先看一下方法一实现的代码，我们发现，其实里面两层循环只做了+1的事情，应该是有规律可寻去简化的

再仔细看一下可以发现，里面的循环每次加的数字为：

可以看出来，上面其实是一个等差为，首项为，末项为,项数为(n - 25 * i) / 10 + 1的等差数列

所以可以直接使用等差数列的求和公式，将循环修改为1层

代码实现：

方法一：

class Solution:
    def waysToChange(self, n: int) -> int:
        res = 0
        max_num = 1000000007
        for i in range(n // 25 + 1):
            for j in range((n - 25 * i) // 10 + 1):
                res += (n - 25 * i - 10 * j) // 5 + 1
                res %= max_num

        return res

方法二：

class Solution:
    def waysToChange(self, n: int) -> int:
        res = 0
        max_num = 1000000007
        for i in range(n // 25 + 1):
            res_money = n - 25 * i
            res += ((1 + res_money // 5) + (1 + (res_money - 10 * (res_money // 10)) // 5)) * (res_money // 10 + 1) // 2
            res %= 1000000007

        return res