算法导论第九章练习参考答案

Exersise

9.1-1 证明：（使用上面的算法）在最坏的情况下，找到 $n$个元素中第二小的元素需要 $n+\lceil lgn\rceil-2$次比较。（提示：可以同时找最小元素。）

外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-E22NW3yq-1587650271095)(…/images/20191014162428.png)]]

构建一棵胜者树(winner tree)如上图所示，寻找最小值需要 $n-1$次比较（内部节点个数）；因为次最小值必定与最小值比较过，所以次最小值在最小值的兄弟节点中（如红框所示），在最坏情况下，比较次数是 $\lceil logn -1\rceil$，

，最好情况下比较次数是 $1$（这时最小值所在的子树只有一个节点）。最后整体最坏情况下比较次数是 $n-1+\lceil logn \rceil -1=n-2+\lceil logn \rceil$

胜者树参考资料：http://graduate.bjfu.edu.cn/uploadfile/20051031161858742.doc

9.2-1 证明：在RANDOMIZED-SELECT中，对长度为0的数组，不会进行递归调用。

RANDOMIZED-SELECT(A,p,r,i)
	if p==r
		return A[p]
    q=RANDOMIZE-PARTITION(A,p,r)
    k=q-p+1
    if i==k
    	return A[p]
    elseif i<k
    	RANDOMIZED-SELECT(A,p,q-1,i)
   	else
   		RANDOMIZE-SELECT(A,q+1,r,k-i)

当 $p=q=1$或 $q=r=n$时会产生0长度的数组，此时 $k=1$：

情况1： $p=q=1$，此时必有 $i=1$，函数直接返回A[p]

情况2： $i=n$

9.2-2 请讨论：指示器随机变量 $X_k$和 $T(max(k-1,n-k))$是相互独立的。

9.2-3 给出RANDOMIZED-SELECT的一个基于循环的版本

RANDOMIZED-SELECT-ITERATION(A,p,r,i)
	while p<r
		q=RANDOMIZE-SELECT(A,p,r)
		k=q-p+1
		if i==k
			return A[p]
		elseif i<k
			r=q-1
		else
			i=i-k
			p=q+1
	return A[p]

9.2-4 假设用RANDOMIZE-SELECT去选择数组 $A=<3,2,9,0,7,5,4,8,6,1>$的最小元素，给出能够导致RANDOMIZED-SELECT最坏情况发生的一个划分序列。

划分序列 $q=<9,8,7,6,5,4,3,2,1,0>$

9.3-7 设计一个 $O(n)$时间的算法，对于一个给定的包含 $n$个互异元素的集合 $S$和一个正整数 $k\leq n$，该算法能够确定 $S$中最接近中位数的 $k$个数。

Solution