和高数一样还是放些证明题为妙。 今 天 看 一 道 简 单 证 明 题 : 今天看一道简单证明题: 今天看一道简单证明题: 若 A 2 = A , 求 证 : ( A + E ) k = E + ( 2 k − 1 ) A . 若A^2=A,求证:(A+E)^k=E+(2^k-1)A. 若A2=A,求证:(A+E)k=E+(2k−1)A. 证 证 证 用 数 学 归 纳 法 证 明 . 当 k = 1 时 结 论 成 立 , 归 纳 假 设 结 论 对 k = m 成 立 . 即 ( A + E ) m = E + ( 2 m − 1 ) A . 则 当 k = m + 1 时 ， 有 ( A + E ) m + 1 = [ E + ( 2 m − 1 ) A ] ( A + E ) = A + ( 2 m − 1 ) A 2 + E + ( 2 m − 1 ) A = A + ( 2 m − 1 ) A + E + ( 2 m − 1 ) A = [ 2 ( 2 m − 1 ) + 1 ] A + E = E + ( 2 m + 1 − 1 ) A . 用数学归纳法证明.当k=1时结论成立,归纳假设结论对k=m成立.即 (A+E)^m=E+(2^m-1)A. 则当k=m+1时，有 (A+E)^{m+1}=[E+(2^m-1)A](A+E)=A+(2^m-1)A^2+E+(2^m-1)A =A+(2^m-1)A+E+(2^m-1)A=[2(2^m-1)+1]A+E =E+(2^{m+1}-1)A. 用数学归纳法证明.当k=1时结论成立,归纳假设结论对k=m成立.即(A+E)m=E+(2m−1)A.则当k=m+1时，有(A+E)m+1=[E+(2m−1)A](A+E)=A+(2m−1)A2+E+(2m−1)A=A+(2m−1)A+E+(2m−1)A=[2(2m−1)+1]A+E=E+(2m+1−1)A.
