设 A 是 n 阶 方 阵 ， 满 足 设A是n阶方阵，满足 设A是n阶方阵，满足 A m = E , A^m=E, Am=E, 其 中 m 为 正 整 数 ， 将 A 中 的 元 素 a i j 用 其 代 数 余 子 式 A i j 代 替 得 到 的 矩 阵 记 为 B ， 证 明 ： 其中m为正整数，将A中的元素a_{ij}用其代数余子式A_{ij}代替得到的矩阵记为B，证明： 其中m为正整数，将A中的元素aij用其代数余子式Aij代替得到的矩阵记为B，证明： B m = E . B^m=E. Bm=E. 证 ： 由 A m = A A m − 1 = E 可 知 A 为 可 逆 矩 阵 ， 于 是 A ∗ 可 用 A − 1 来 表 示 ， 即 证：由A^m=AA^{m-1}=E可知A为可逆矩阵，于是A^*可用A^{-1}来表示，即 证：由Am=AAm−1=E可知A为可逆矩阵，于是A∗可用A−1来表示，即 A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^*=|A|A^{-1} A∗=∣A∣A−1 且 ∣ A ∣ m = ∣ A m ∣ = 1 且|A|^m=|A^m|=1 且∣A∣m=∣Am∣=1 , 又 由 题 设 有 B = ( A i j ) n × n = ( A i j ) n × n T = ( A ∗ ) T . ,又由题设有B=(A_{ij})_{n×n}=(A_{ij})^T_{n×n}=(A^*)^T. ,又由题设有B=(Aij)n×n=(Aij)n×nT=(A∗)T. 故 故 故 B m = [ ( A ∗ ) T ] m = [ ∣ A ∣ ( A − 1 ) T ] m = ∣ A ∣ m [ ( A m ) T ] − 1 = ∣ A ∣ m ( E T ) − 1 = E . B^m=[(A^*)^T]^m=[|A|(A^{-1})^T]^m=|A|^m[(A^m)^T]^{-1}=|A|^m(E^T)^{-1}=E. Bm=[(A∗)T]m=[∣A∣(A−1)T]m=∣A∣m[(Am)T]−1=∣A∣m(ET)−1=E.
