用python预测疫情发展

什么是传染病动力学？

最近，在报道疫情的众多新闻中，相信大家也看到过一些来预测新型冠状病毒会导致感染肺炎的人数。你一定好奇，这个人数要怎么预测呢？预测人数又有什么用呢？

事实上，从学科方向来说，这类研究属于传染病动力学，就是用数学模型去描述传染病在人群中传播的规律，从而预测患病人数，进而指导政府制定措施和政策去控制传染病的传播。
这类研究最早可追溯到18世纪Daniel Bernoulli对天花的研究，而我们今天所要介绍的SIR模型是1927年Kermack与McKendrick在为了研究伦敦黑死病而提出的，是传染病动力学中最基础的模型。

介绍了传染病模型的背景信息，不知道现在你对传染病模型更有兴趣，还是执着地对python更有兴趣呢？不论哪种，这篇文章会满足你所有的好奇心。

兄弟们，火鸡们，我们开始吧！

numpy和matplotlib

首先，安装一下这节课我们需要使用的两个python包，numpy和matplotlib。
numpy-是python进行科学和矩阵运算最常用的包。

用numpy建立一维数组，存储和计算每天传染病人数的数据。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

用matplotlib绘制传染病人数随天数变化的曲线，给出模型预测人数变化的直观认识。

好啦，下面开始用python实现传染病模型吧。

用python实现传染病模型

为了让大家能够更好地理解，我们先不直接说SIR模型，我们从最简单的开始。

SI模型

首先想象这样一个场景，一个城市有 $N$个人，假设没有人出生和死亡，忽然有一天有 $I$个人感染了病毒成为了患者，如果每天每个患者能够有效传染 $\lambda$个人，那么第二天患病人数是多少呢？

最简单的答案是： $I+\lambda I$ ，也就是说每天都会新增 $\lambda I$个患者。那这样以来，在无限远的将来会有无穷多的人被感染，显然这是不合理的，那错在哪里？仔细思考，你一定发现了，已经患病的人就不能再被传染了，所以我们有必要把人群分为两类，易感者（S-susceptiable）和感染者（I-infective）（你猜的没错，这就是SIR中S和I的含义，R的含义之后介绍再讲）。

为了之后方便计算我们记易感者和感染者在人群中的比例为 $i=I/N,s=S/N$，那么 $i+s=1$ 。

我们重新考虑上面的问题，顺便来个示意图：

这样的话，每天新增的患者数为 $\lambda \times i N \times s$ ,也就是总传染人数乘以易感者所占的人群比例。
那么每天的感染者比例的增加量就是 $(\lambda \times i N \times s) / N=\lambda i s$。

我们假设城市有一千万（N=10的7次方）人，每个患者每天接触感染每天0.8人（lamda=0.8），初始感染人数为45人(i0 = 45/N)，我们来模拟70天(T=70)的情况。

# population
N = 1e7
# simuation Time / Day
T = 70

# susceptiable ratio
s = np.zeros([T])
# infective ratio
i = np.zeros([T])
# contact rate
lamda = 0.8

# initial infective people
i[0] = 45.0 / N

for t in range(T-1):
    i[t + 1] = i[t] + i[t] * lamda * (1.0 - i[t])

相信其他语句大家都明白，新知识是这两行：

s = np.zeros([T])
i = np.zeros([T])

这两句话的意思是一样的，就是利用numpy（已被我们重新命名为np）的函数（zeros()）来建立一个所有元素都是零的数组，而给的参数决定了这个数组的维度。比如：

a = np.zeros([2,3])
a

array([[0., 0., 0.],
       [0., 0., 0.]])

a = np.zeros([5])
a

array([0., 0., 0., 0., 0.])

类似的还有产生元素全部是1的数组的函数np.ones()：

a = np.ones([5])
a

array([1., 1., 1., 1., 1.])

a = np.ones([2,3])
a

array([[1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.]])

plt.plot(i)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f0c2768d6d8>]

实现SI模型的核心代码是第三个cell的第11，12行：

for t in range(T-1):
    i[t + 1] = i[t] + i[t] * lamda * (1.0 - i[t])

就是我们建立的数学模型，利用python的for循环语句累加迭代的方式把每天的增加量叠加到感染者比例上。

运行代码完成计算，我们利用matplotlib的pyplot来画出感染者的随天数的变化曲线：

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,4))
ax.plot(i, c='r', lw=2)
ax.set_xlabel('Day',fontsize=20)
ax.set_ylabel('Infective Ratio', fontsize=20)
ax.grid(1)
plt.xticks(fontsize=20)
plt.yticks(fontsize=20);

从这个结果看到，大约在25天左右，全部人群都会变成感染者，感染率 $i=1$。
在程序中我们假设每天每个患者传染0.8个人，你可以改变lamda的值，观察全部人群感染的天数的变化。
认真思考你会知道，lamda的现实意义就是该城市的卫生水平，衡量的是消毒，隔离这些措施执行得怎么样。

回到传染病模型，按照SI模型计算的结果，我们全人类都会患病，这好可怕！原因是我们忽略了一个很重要的因素，那就是我们有奋斗在一线的医护人员，我们会被治愈！所以SI模型只适合研究具有高传染风险又不能被治愈的病（比如HIV）。

但是对于其他病，我们是可以靠医疗和自身免疫系统康复的，那么紧接着的一个问题就是，被治愈后还会再被传染上嘛？根据这个问题的回答不同，我们有了两个不同的模型，SIR 和 SIS。现在可以揭晓，SIR的R的含义了，就是移出者（Removed），现实含义就是指被治愈后不会再被感染的人。 而SIS表示治愈后仍然还是易感者。下面我们用python来分别实现这两个模型。

SIS模型

为了实现这个模型，我们需要引入新的一个参数，治愈率 $\gamma$。好啦，先上我们的新示意图：

和SI模型做比较，区别就是计算感染者的增加数时要减去被治愈的人数。
所以这时候每天的增加的感染者为： $\lambda \times i N \times s-\gamma \times i N$ ,
增加的感染率为： $\lambda \times i \times s-\gamma i$ 。
模型完成啦，修改python代码：

# susceptiable ratio
s = np.zeros([T])
# infective ratio
i = np.zeros([T])

# contact rate
lamda = 1.0
# recover rate
gamma = 0.5 

# initial infective people
i[0] = 45.0 / N

for t in range(T-1):
    i[t + 1] = i[t] + i[t] * lamda * (1.0 - i[t]) - gamma*i[t]

运行代码，我们画出曲线（代码和SI模型的画图完全一样）：

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,4))
ax.plot(i, c='r', lw=2)
ax.set_xlabel('Day',fontsize=20)
ax.set_ylabel('Infective Ratio', fontsize=20)
ax.grid(1)
plt.xticks(fontsize=20)
plt.yticks(fontsize=20);

运行代码，我们画出曲线（代码和SI模型的画图完全一样）
可以看到，达到最大感染率的时间退后10天左右，最后感染和治愈达到动态平衡，人群中有始终有一半的人感染着。所以，SIS模型适合研究具有传染性和反复性的流行病，比如常见流感。同样的，感兴趣的话，改变lamda和gamma的值，观察曲线的变化。和lamda不同的是，gamma的现实意义就是对这种疾病的治疗水平。

SIR模型

加入了移出者，被治愈的病人不会再被传染，先上我们的新示意图：

SIR 模型
注意到这里，人群被分成了三类，不再只有I和S，所以相比于之前的模型，我们需要找到新的约束关系。现在我们需要分别计算三种人每天的增加量了：

• 易感者：每天都在被传染，所以一直在减少，减少量为被传染的人数： $\lambda N i s$
• 感染者：增加了被感染的人，减少了治愈的人： $\lambda N i s-\gamma N i$
• 移出者：增加了治愈的人： $\gamma N i$

建模完成，修改python代码，并且假设人群普遍易感，新型疾病，初始没有移出者。

# population
N = 1e7 + 10 + 5
# simuation Time / Day
T = 170
# susceptiable ratio
s = np.zeros([T])
# infective ratio
i = np.zeros([T])
# remove ratio
r = np.zeros([T])

# contact rate
lamda = 0.2586
# recover rate
gamma = 0.0821

# initial infective people
i[0] = 10.0 / N
s[0] = 1e7 / N
for t in range(T-1):
    i[t + 1] = i[t] + i[t] * lamda * s[t] - gamma*i[t]
    s[t + 1] = s[t] - lamda * s[t] * i[t]
    r[t + 1] = r[t] + gamma*i[t]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,6))
ax.plot(s, c='b', lw=2, label='S')
ax.plot(i, c='r', lw=2, label='I')
ax.plot(r, c='g', lw=2, label='R')
ax.set_xlabel('Day',fontsize=20)
ax.set_ylabel('Infective Ratio', fontsize=20)
ax.grid(1)
plt.xticks(fontsize=20)
plt.yticks(fontsize=20)
plt.legend();

感染人数峰值发生在一个月左右，最大感染人数不到人群的20%， 但是最终人群的80%都会得此病（就是最终的移出者的比例）。SIR模型适合研究没有潜伏期的急性传染病，治疗后能够痊愈并具有抗病性。

到这里，虽然不准确，我们也可以先用SIR模型来分析一下此次疫情，武汉新型冠状病毒的传染病动力学！

模型有了，其实就是确定参数的问题。一开始就有人做了这个工作：

于教授给的参数是参考了非典的， $\gamma=0.0821,\lambda=0.2586$，初始易感人数为一千万, 初始感染10人，初始移出者5人，那么我们的城市总人数 $N=1 e 7+10+5$ , 带入我们的模型得到结果：

重现于教授的模型
高峰和尾声日期的推测基本相符。

# susceptiable ratio
s = np.zeros([T])
# infective ratio
i = np.zeros([T])
# removed ratio
r = np.zeros([T])

# birth ratio
b = 20.0 / N
# death ratio
d = 10.0 / N

# contact rate
y = 1.5
# recover rate
u = 0.8 # 1 / infective_period

# sigma = y / u

# initial infective people
i[0] = 45.0 / N
s[0] = 1 - i[0]
for t in range(T-1):
    i[t+1] = i[t] + i[t] * y * s[t] - u*i[t] - d*i[t]
    s[t+1] = s[t] - y * s[t] * i[t] + b - d*s[t]
    r[t+1] = r[t] + u*i[t] - d*r[t]

plt.plot(i)
plt.plot(s)
plt.plot(r)
plt.plot(np.diff(i),ls='--')

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f77796e8518>]

SEIR模型

但是，SIR模型和实际情况的出入会比较大，因为忽略了太多因素了，比如说潜伏期，比如说政策调控，药物，出生死亡等等。下面我们可以和前面一样，把潜伏期考虑进去，新增一个人群，叫潜伏者E（exposed）：

SEIR模型
同样的我们需要计算各人群每天的增加量：

S：每天减少： $\lambda N i s$
E：每天增加传染，减少发病： $\lambda N i s-\sigma N e$
I：每天增加发病，减少治愈： $\sigma N e-\gamma N i$
R：每天增加治愈： $\gamma N i$
建模完成，修改我们的python程序，这里的 $\sigma$可以理解为潜伏期的倒数。给的4天。新型冠状病毒给目前临床的潜伏期是3-14天。

# population
N = 1e7 + 10 + 5
# simuation Time / Day
T = 170
# susceptiable ratio
s = np.zeros([T])
# exposed ratio
e = np.zeros([T])
# infective ratio
i = np.zeros([T])
# remove ratio
r = np.zeros([T])

# contact rate
lamda = 0.5
# recover rate
gamma = 0.0821
# exposed period
sigma = 1 / 4

# initial infective people
i[0] = 10.0 / N
s[0] = 1e7 / N
e[0] = 40.0 / N
for t in range(T-1):
    s[t + 1] = s[t] - lamda * s[t] * i[t]
    e[t + 1] = e[t] + lamda * s[t] * i[t] - sigma * e[t]
    i[t + 1] = i[t] + sigma * e[t] - gamma * i[t]
    r[t + 1] = r[t] + gamma * i[t]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,6))
ax.plot(s, c='b', lw=2, label='S')
ax.plot(e, c='orange', lw=2, label='E')
ax.plot(i, c='r', lw=2, label='I')
ax.plot(r, c='g', lw=2, label='R')
ax.set_xlabel('Day',fontsize=20)
ax.set_ylabel('Infective Ratio', fontsize=20)
ax.grid(1)
plt.xticks(fontsize=20)
plt.yticks(fontsize=20)
plt.legend();

按照模型的结果，此次疫情可能真的要持续到 三四月份。这个接触率 $\lambda$ 真的非常影响表现，模型给的是个常数，但是由于政府措施的原因，这应该是个变化的值。
还有治愈率 $\gamma$也是。没有完美的模型，但是随着考虑因素的增多，就会越来越接近实际情况，从而指导政府的疫情方针政策的制定。

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